(3.4)--1.2.2 偏微分方程的基本概念.pdf

1.2.2偏微分方程的基本概念

定解问题：

定解条件：包括初始条件和边界条件。

定解问题：把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解

条件结合在一起，就构成了一个定解问题。

Cauchy问题（始值问题）：只有初始条件

边值问题：只有边界条件

混合问题：既有初始条件，又有边界条件

解的存在、唯一、稳定性

在什么条件下，定解问题的解是存在的，唯一的，并且是稳定的？

解的存在性：定解问题有解。如果定解条件过多，互相矛盾，则定解

问题无解。例如，如果一方面要求弦的两端固定，另一方面又要求它

的端点受到确定的外力作用。这两个要求就是互相矛盾的。

解的唯一性：定解问题的解是唯一的。如果定解条件不足，定解问题

的解就不是唯一的。所以，要求定解问题的解存在并且唯一，就是要

求定解问题抽象得“合理”，定解条件要不多不少，恰到好处。

解的存在、唯一、稳定性

如果定解问题中的已知条件（例如方程或定解条件中的

解的稳定性：

已知函数）有微小改变时，解也只有微小的改变。在构造定解问题时，

不可避免地总要作简化和近似。显然，只有在稳定性所许可的限度内

所作的简化和近似才是有意义的。

所谓定解问题解的存在性、唯一性和稳定性，统称为适定性。

举例：

例1：设一长为的均匀柔软的细弦，弦的初始位移为x，初速

l

为0。一端x0端固定，另一端xl是自由端点，不受外力，写出

弦做微小横向振动时定解问题。

22

u2u

2a2,0xl,t0，

tx

u



ux00,0,t0,

x

xl

u

ux,=0，0xl.

t0

tt0



举例：

例2:设有长为的棒，它的表面是绝热的，包括x0,xl。其

l

初始温度f(x)，试写出定解问题。

2

u2u

a2,0xl,t0，

tx

uu

0,t0，

xx

x0xl



ufx,0xl.

t0