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1.2.3二阶线性偏微分方程的分类

二阶线性PDE分类：

两个自变量的二阶线性偏微分方程形式

222

uuuuu

a22bc2defug

xxyyxy

a,b,c,d,e,f,ga,b,c

其中均是xy的函数，不能同时为0

,

假设及其方程系数都是二次连续可微的

u

2u2u2u

abc

222二阶主部

xxyy

二阶线性PDE分类：

定义1：在点(x,y)处，如果判别式=b2ac满足

00

（1）若0,称方程在点(x0,y0)处是双曲型的；

（2）若0,称方程在点(x,y)处是抛物型的；

00

（3）若0,称方程在点(x,y)处是椭圆型的。

00

二阶线性PDE分类：

定义2：在区域D内，2满足

=bac

（1）若0,称方程在区域D内是双曲型的；

（2）若0,称方程在区域D内是抛物型的；

（3）若0,称方程在区域D内是椭圆型的。

二阶线性PDE分类：

22

u2u

例12a20波动方程（双曲型方程）

tx

2222

bac01(a)a0

2

u2u

例2a20热传导方程（抛物型方程）

tx

02100

22

uu

例32+20稳恒状态方程（椭圆型方程）

xy

02110

二阶线性PDE分类：

22

uu