(3.5)--2.1 正则参数曲线2.pdf

微分几何

第二章曲线论

§2.1正则参数曲线

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一、导入

从圆的方程到动点轨迹：

y

半径为a的圆：

Ԧ=,,∈(0,2π].oax

3

可视为(0,2π]到的连续映

E

222

+=

3

直观上，中的一条曲线可视为一质点（点）随时间变化运动所产生的轨迹.

E

一、曲线的参数表示

(一）参数曲线

3中的一条曲线是一个连续映p:[a,b]→E3,

1.参数曲线：C

E

p

称为参数曲线.几何上，参数曲线是映射的像.

CC

2.曲线的参数方程：

取定正交标架O;i,j,k,则曲线上的点p(t)Op(t):r(t),

r(t)x(t)i=+y(t)j+z(t)k(x(t),y(t),z(t)),t[a,b](1.1)

t

其中为曲线的参数，(1.1)称为曲线的参数方程.

C

一、曲线的参数表示

z

(二）（向量）参数表示实例

例1.开椭圆弧的参数表示：

r(t)(acost,bsint,0),t=(0,2).

例2.圆柱螺线的参数表示：

r(t)

r(t)(acost,asint,bt),t=R..Obt

y

a,ba0.t

其中是常数，AQ

x

例3.曲线r(t)