(3.6)--2.2 曲线的弧长微分几何.pdf

微分几何

第二章曲线论

§2.2曲线的弧长

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一、导入



r(t)

问题：的物理意义？

z



r(t)

′

若Ԧ视为有向距离，则Ԧ为r(t)

速度向量，使用微元法，弧长微元r(t+t)

可由局部速度与时间微元得到

Oy

′x

ds=|Ԧ|dt

二、弧长的定义与求法

.

(一）弧长的定义

3中的正则曲线r(t)到的(有向)弧长定义为：

弧长定义：EC:从t0t1

t

1



st|r(t)|dt,(2.1)

0

弧长是曲线的一个不变量，它与正交标架及可允许参数变换无关.Why?

因此，曲线的弧长是一个几何量。

二、弧长的定义与求法

.

(二）弧长的求法

例1.平面正则曲线yf(x),x[a,b]的弧长公式：

b222

s1+f(x)dxr()+r()d.

a

例2.圆柱螺线r(u)(acosu,asinu,bu),u[0,t]