人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第14讲 7.4.2 超几何分布（教师版）.doc

第07讲7.4.2超几何分布

课程标准

学习目标

①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。

②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。

③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。

通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题

知识点1：超几何分布

（1）超几何分布

一般地，假设一批产品共有SKIPIF10件，其中有SKIPIF10件次品，从SKIPIF10件产品中随机抽取SKIPIF10件(不放回)，用SKIPIF10表示抽取的SKIPIF10件产品中的次品数，则SKIPIF10的分布列为SKIPIF10，SKIPIF10.

其中SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10．

如果随机变量SKIPIF10的分布列具有上式的形式，那么称随机变量SKIPIF10服从超几何分布．

（2）对超几何分布的理解

①在超几何分布的模型中，“任取SKIPIF10件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取SKIPIF10件”.如果是有放回地抽取，就变成了SKIPIF10重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.

②若随机变量SKIPIF10满足：

试验是不放回地抽取SKIPIF10次；

随机变量SKIPIF10表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.

③超几何分布的特点：

不放回抽样；

考察对象分两类；

已知各类对象的个数；

从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数SKIPIF10的概率分布列.

（3）超几何分布的均值

若随机变量SKIPIF10服从超几何分布，则SKIPIF10(SKIPIF10是SKIPIF10件产品的次品率).

【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数SKIPIF10的数学期望．

【答案】1

【详解】袋中球的总数为SKIPIF10，

根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数SKIPIF10服从超几何分布，

即SKIPIF10．

因为SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，所以SKIPIF10．

知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系

（1）区别

由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有SKIPIF10件，其中有SKIPIF10件次品.从SKIPIF10件产品中随机抽取SKIPIF10件，用SKIPIF10表示抽取的SKIPIF10件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量SKIPIF10服从二项分布，即SKIPIF10(其中SKIPIF10)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量SKIPIF10服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.

（2）联系

二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取SKIPIF10件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对