2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）.docx

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2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知cosα=?

A.23 B.59 C.4

2.已知a,b为共线向量，且a=(1

A.?3 B.3 C.10

3.若sin(α?β)co

A.210 B.?210

4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csi

A.215 B.265 C.

5.已知非零向量a,b满足a?b=?3,

A.?6a B.?3a C.

6.f(x)=Acos(

A.向右平移π8个单位长度

B.向右平移π2个单位长度

C.向左平移π4个单位长度

D.

7.筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).假设在水流量稳定的情况下，一个半径为4m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为23m，且该筒车均匀分布有8个盛水筒(视为质点)，以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t(单位：min)，则下列说法正确的是(????)

①t=1min时，盛水筒P到水面的距离为2+23m；

②t=43min

A.①② B.②③ C.①③

8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=3D

A.92

B.7120

C.4615

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列计算中正确的是(????)

A.sin15°sin30°

10.已知函数f(x)=

A.函数解析式化简后为：f(x)=2sin(2x?π3)?3

B.f

11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFG

A.OB?OE=?2

B.OA+OC=?

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(2,?3),

13.在△ABC中，已知BA?BC=t

14.已知sin(α+π7)=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，

(1

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=3sinωxcosωx?sin2ωx+1

17.(本小题15分)

如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点．

(1)求证：2EF=AD+BC；

(2)若A

18.(本小题17分)

锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a?c)cosB=bc

19.(本小题17分)

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造.如图所示，矩形CDEF区域为停车场，其余部分建成绿地，已知扇形AOB的半径为2(百米)，圆心角分别为π3，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上(如图2所示)；

(1)若按方案一来进行修建，求停车场面积的最大值；

(2)修建停车场的一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点

答案和解析

1.【答案】D?

【解析】解：已知cosα=?23，

则co

2.【答案】C?

【解析】解：a=(1,x),b=(?2,6)共线，则?2x

3.【答案】A?

【解析】解：因为sin(α?β)cosα?cos(α?β)sinα=

4.【答案】D?

【解析】解：因为csinC?asinA=4bsinB，由正弦定理得c2?a2

5.【答案】B?

【解析】解：b在a方向上的投影向量为a?b|a|?a|a

6.【答案】C?

【解析】解：由函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A0,|φ|π2)的部分图象，可得A=1，

可得14T=π3?π12=π4，T=π，则ω=2πT=2，

又2×π12+φ=2kπ,k∈Z，|?|π2，则φ=?π6，

7.【答案】A?

【解析】解：依题意作图如下：

?以水车的轴心为原点建立直角坐标系如上图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，

当P刚露出水面时，与y轴的夹角是30°，相邻盛水桶之间的夹角是45°，

①当P旋转1min时，旋转了360°4=90°，旋转到D点，

此时D点到水面的距离为23+4sin30°=2+23，所以①正确；

②当t=43?min时，旋转了13?周，即120°，此时的位