2.2圆的对称性（二）垂径定理（十一大题型）（ 原卷版） .pdfVIP

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》

2.2圆的对称性

第二课时垂径定

知识点一圆的对称性

圆的轴对称性

圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它

的对称中心是圆心.

知识点二垂径定理

◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性

质.

推导格式：

◆2、垂径定理的用法：

（1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角

形），利用勾股定理列式求值.

（2）如图弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：

（3）r,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量.

知识点三垂径定理的推论

◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

◆2、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对

的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）

◆3、垂径定理的几个基本图形：

题型一垂径定理有关的概念

【例题1】下列说法中错误的有（）

①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；

②弦的垂线平分它所对的两条弧；

③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；

④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．

A．1个B．2个C．3个D．4个

解题技巧提炼

1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.

2、一条直线满足:①过圆;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对

的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知

二推三”）

【变式1-1】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（）

（1）相等的圆心角所对的弧相等；

（2）平分弦的直径垂直于弦；

（3）长度相等的两条弧是等弧；

（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．

A．0个B．1个C．2个D．3个

【变式1-2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（）

A．CE＝DEB．AE＝OEC．∠COA＝∠DOAD．△OCE≌△ODE

【变式1-3】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：

①AC＝BC，②=，③=，④OC＝CN上述结论中，正确的有（填序号）

题型二利用垂径定理求线段长

【例题2】（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为

3cm，则半径OA的长为cm．

解题技巧提炼

作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定

理求解.

【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若=45，

BE＝2，则AB的长是（）

A．12B．16C．65D．125

【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意

一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（）

123

A．B．C．D．1

222

【变式2-3】（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上