(3.21)--6.2 测地线微分几何.pdf

微分几何

第六章测地曲率和测地线

§6.2测地线

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一、测地线

.

定义曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线.

定理1曲面上一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主

法向量处处是曲面的法向量.

证明因为









kr(s)(n)k(n,,)nkcos,

g

k0

其中是曲线的副法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见，的

g



k0cos0

条件是或者.若则该曲线是直线，若，则

k0k0cos0

一、测地线

.





于是，即曲线的主法向量是曲面的法向量.

2

现在我们考虑测地线的微分方程.由§1的（5）式和定理2的证明可知

2

dududu

ker

g2ds2dsds

k0

因此的充要条件是

g

2

dududu

