2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）.docx

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2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a=(1,1)，b=

A.1 B.?3 C.?2

2.在2+7，27i，0，8+5i

A.0 B.1 C.2 D.3

3.已知向量OA、OB的夹角为60°，|OA|=

A.6 B.22 C.2

4.已知向量AB=(4,3)，AC

A.3 B.4 C.15 D.21

5.在平面四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD⊥CD，AD=CD=2，如图1，将四边形沿AC

A.217 B.2217

6.已知∠ACB=60°，P为平面ABC外一点，PC=2，P到∠ABC

A.33 B.233

7.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是(????)

A.勒洛四面体最大的截面是正三角形

B.若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为2

C.勒洛四面体ABCD的体积是8

8.在△ABC中，D为BC上一点，且BD=3DC

A.3913 B.133 C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题中，真命题为(????)

A.复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0

B.复数z=1?3i的共轭复数为z

10.已知a，b，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是(????)

A.一定存在实数x，y使得a=xb+yc成立

B.若a?b=a?c，那么一定有a⊥(b?c

11.在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC=60°，将菱形A

A.四面体ABCD的体积的最大值是33

B.BD的取值范围是(32,6)

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数z=3(cosπ

13.在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是______．

14.已知平面向量m与m+n的夹角为π6，若|m|?λ

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(cosB+cosA)(cosB?cosA)

16.(本小题15分)

设复数z1=1?ai(a∈R)，z2=3?4i

17.(本小题15分)

已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，点M，N分别是线段C1D1，CC1的中点．

18.(本小题15分)

如图，在三棱柱ADP?BCQ中，侧面ABCD为矩形．

(1)设M为AD中点，点N在线段PC上，且NC=2PN，求证：P

19.(本小题17分)

n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2,…,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,…,an)，若|ai|=1，i=1，2…n，称a为n维信号向量.设

答案和解析

1.【答案】B?

【解析】解：∵a=(1,1)，b=(m,1)，∴a+b=(m+1

2.【答案】C?

【解析】解：∵2+7为实数，27i为纯虚数，0，8+5i为虚数，(1?3)i为纯虚数，

3.【答案】D?

【解析】解：因为向量OA、OB的夹角为60°，|OA|=|OB|=2

所以OA?OB=

4.【答案】D?

【解析】解：因为AB=(4,3)，AC=(3,t)，

所以BC=AC?AB=(?1,t?3

5.【答案】C?

【解析】解：根据题意可得当平面ABC⊥平面ACD时，四面体B?ACD的体积最大，

在平面ABC内过B作BE⊥AC于点E，则BE⊥平面ACD，

∵△ABC为正三角形，AD⊥CD，易知AC⊥ED，

∴四面体B?ACD外接球的球心O为正三角形ABC的中心，即BH的靠近E的三等分点，

建系如图，则根据题意可得：

A(1,0,0)，B(0,0,3)，D(0,1,

6.【答案】B?

【解析】解：∠ACB=60°，P为平面ABC外一点，PC=2，P到∠ABC两边AC、BC的距离都为2，

作PO⊥平面ABC，作PD⊥AC，PE⊥CB，连接OD，OE，DE，

由已知PE=PD=2，PO⊥平面ABC，则△?POD≌△POE，∴OD=OE，

∵P

7.【答案】D?

【解析】解：由勒洛四面体的定义可知勒洛四面