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微分几何
第二章曲线论
§2.4.1挠率的定义与Frenet公式
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一、挠率
.
（一）挠率的定义
s||,
密切平面对弧长的变化率为它刻画了曲线偏离密切平面的程度，
即曲线的扭曲程度.
ሶሶሶറ
观察：റ⋅റ=0⟹റ⋅റ=−റ⋅റ=−റ⋅=0
ሶԦ
⟹റ∥
定义4.1函数=−(s)=−(s)(s)称为曲线的挠率
，即
注意：由||||知，挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.
对比：切方向运动快慢(曲率)VS密切面转动快慢(挠率).
一、挠率
定理4.1设曲线CC
不是直线，则是平面曲线的充分必要条件
是它的挠率0.
Crr(s)s[0,L].因为C
证明设曲线的弧长参数方程为，不是直线，
0(见定理3.2)，存在Frenet标架r;,,.
C:(X−a)n0
设是平面曲线，在平面上，其中是平面上
a
“”
a
一个定点的位置向量，是平面的法向量，和均为常向量.则有
nn
(r(s)−a)n0,=s[0,L]
求导得
(s)n0,(s)(s)n0(s)n0,=s.
一、挠率
于是(s)//n，由于|(s)||n|1，所以(s)=n是常量，从而
0||||=0
，即有0.
设0由（4.1）得=−0所以(s)c=0是常向量
“”
d
由(r(s)c)r(s)c(s)(s)0
ds
可知r(s)c是一个常数，即r(s)cr(s)c，其中s0[0,L]固定.
0
于是曲线上的点满足平面方程[r(s)−r(s)]c0，其中r(s)是平面上
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