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微分几何
第二章曲线论
§2.5.1曲线论基本定理
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问题导入
.
已知曲线的不变量：弧长、曲率、挠率.
与坐标系取法及保持定向的参数无关，在空间的刚体运动
下，弧长、曲率、挠率保持不变.
反之，这三个量是否构成曲线的完备不变量系统？
对确定空间曲线的形状是否足够？
一、唯一性定理
.
3
C:rr(s),C:rr(s)Es
定理5.1（唯一性定理）设111222是中两条以弧长为
s[0,l]
参数的正则曲线，.如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函
(s)(s)(s)(s)E3
数和挠率函数，即12，12，则有中的一个刚体运动
将变成C.
C12
结合存在性定理推得：弧长、曲率、挠率是曲线的不变量全组.
即在不计刚体运动下，曲线完全由弧长、曲率和挠率所决定.
一、唯一性定理
3
ECs0
证明选取中的刚体运动将在处的Frennet标架
2
r(0);(0),(0),(0)r(0);(0),(0),(0),
变成在处的Frenent标架
2222Cs01111
1
CCCrr(s)，
则这个刚体运动将变为正则曲线，设的弧长参数方程为33
233
CC
由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，与也有相同的曲
13
率和挠率函数：
(s)(s)(s)(s)
13，13
且在s0处它们有相同的Frenet标架：
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