(2.6)--3.4.2Hausdorff 空间的紧致子集.ppt

1.Hausdorff空间的紧致子集2.局部紧致与Hausdorff空间3.一点紧致化主要内容

1Hausdorff空间的紧致子集PARTONE

量子力学Hausdorff空间的紧致子集是闭集命题2.17：若是Hausdorff空间的紧致子集，,则与有不相交的邻域.证明：，则.是Hausdorff空间,因而和有不相交的开邻域和(它们都随而改变).构成在中的开覆盖，有子覆盖.记，则它们都是开集，并且分别是和的邻域.因为，所以.和为所求.

推论：Hausdorff空间的紧致子集是闭集。定理2.6：设是连续的一一对应，其中紧致，是Hausdorff空间，则是同胚.证明：要证明连续，只需证明是闭映射.设是的闭集，由命题2.15(紧致空间的闭子集紧致)，所以是紧致的.由命题2.16(紧致空间在连续映射下的像也紧致)，所以是的紧致子集.再由命题2.17的推论(Hausdorff空间的紧致子集是闭集),所以是的闭集.

命题2.18：Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域.注：(1)紧致空间：闭集紧致子集;(2)Hausdorff空间：紧致子集闭集;(3)紧致的Hausdorff空间：闭集紧致子集

命题2.19：紧致Hausdorff空间满足,公理.证明：只用证满足公理。设和是紧致的Hausdorff空间的不相交闭子集，由命题2.15，和都紧致，再由命题2.18，和有不相交邻域，得证.

2局部紧致与Hausdorff空间PARTTWO

局部紧致：如果的任一点，存在的紧致的邻域.如果是局部紧致的Hausdorff空间，那么是空间.

3一点紧致化PARTTHREE

一点紧致化：比如是的一点紧致化，即在中添加无穷远点后与同胚.

例2：证明的一点紧化同胚于.证明：记为的一点紧化，设是从北极的球极投影.定义投射为显然是紧致空间到Hausdorff空间的1-1对应，我们只证明是连续映射，由命题3.8可知，就是同胚.

只要证明在北极的连续性即可.取的任何形式如的开邻域,其中是的紧致子集.则因为连续，故是的闭集，从而是中的一个开集.故在北极连续.

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