2024年中考数学二轮培优专题 几何最值模型之费马点模型（原卷版+解析版）.pdf

几何最值模型之费马点模型

皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是

因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广

为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之

和最小的点。

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类

考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型分析

模型：费马点模型

1.费马点模型概念：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

2.解题依据：旋转变换。

3.解题策略：构造等边三角形共顶点旋转，通过旋转把三条线段凑在一起顺次相连。

4.解题思路：化折为直，共线时求最值。

5.费马点的作法：分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点

为M，则点M即为△ABC的费马点。

模型展示

模型①：费马点模型

【模型解读】

结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点

就是最大角的顶点A。(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)

【模型解析①】构造等边三角形共顶点旋转

以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

1

∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．

AB=BE

在△AMB与△ENB中，∵∠ABM=∠EBN，∴△AMB≌△ENB(SAS)．





BM=BN

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN为等边三角形．

∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM

的值最小．

此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；

∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．

【模型解析②】“手拉手模型”原理

在△ABC的外侧，分别作等边△ABT、等边△ACE，连接CT、BE相交于点P，

此时∠BPT=60°，

∠APB=∠BPC=∠CPA=120°(参见“手拉手模型-全等”)，

点P就是△ABC的费马点，

费马距离等于CT或BE．

【模型解析③】费马点的作法

如图，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则

点M即为△ABC的费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

2

模型②：加权费马点模型

结论2：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。

【模型解析】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=yAP+BP+CP，如图，B、P、P、A四点共线时，取得最

yy22

小值。

模型特征：PA+PB+