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微分几何
第四章曲面的第二基本形式
§4.3.3曲率线
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一、导入
前面学习了曲面上特殊的曲面曲线——渐近线（不是每个曲面都存
在），今天介绍每个曲面上都会存在的特殊曲面曲线——曲率线，其广
泛应用于几何设计、曲面分析、形状识别及曲面绘制等领域。
一、曲率线的定义
.
CSC
定义设是曲面上的一条曲线.若上每一点的切向量都是曲
C
面在该点的主方向，则称是曲面上的一条曲率线.
S
注1、点沿着曲率线的方向为该点处的主方向。
2、曲面上的曲率线一定存在。
3、平面和球面上的曲率线是任意曲线。
二、曲率线的几何性质
.
S:rr(u,v)
定理（Rodriques定理）曲面上一条正则曲线
C:uu(t),vv(t)C
是曲率线的充要条件是：沿着曲线有，
t
Cdr(t)
证明由定义，是曲率线，当且仅当对所有的，是Weingarten
Wdr(t)(t)dr(t)dn(t)(t)dr(t)
变换的特征向量，即，从而.
二、曲率线的几何性质
SCS
定理曲面上一条曲线是曲率线的充要条件是：曲面的沿
C
着曲线的法线构成可展曲面.
证明设曲面曲线C的方程为uu(s),vv(
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