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微分几何
第五章曲面论基本定理
§5.5Gauss定理
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一、Gauss绝妙定理
2.2LNM2
由高斯方程RbbbLNM和高斯曲率的定义K得到
12121122122
EGF
R
K1212.
gg(g)2
112212
又因为R:,RgR,
uu
所以Gauss曲率被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本
K
形式无关，是曲面的内蕴几何量.于是有下面的Gauss绝妙定理.
定理5.1曲面的Gauss曲率是曲面在保长变换下的不变量.
一、Gauss绝妙定理
.
Gauss绝妙定理是微分几何发展的过程中的里程碑，正是Gauss这个惊人的发现，使我们
能够研究一张抽象的具有第一基本形式的曲面.Gauss绝妙定理说明曲面的度量本身蕴含着一
定的弯曲性质.例如，球面的Gauss曲率是正常数，平面的Gauss曲率是零，因此球面不能够
保持长度不变地摊成一张平面.反过来，平面也不能够保持长度不变地弯成球面.专门研究曲
面上由它的第一基本形式决定的几何学为曲面的内蕴几何学.后来Riemann发扬了Gauss的思
想，提出高维的内蕴微分几何学的观念，即在高维空间的一个区域给定一个正定的对称二次
微分形式
gdudu,1,n,
然后研究它的弯曲性质，这就是现在所称的Riemann几何学.
一、Gauss绝妙定理
.
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