(3.46)--3.3.1 第一基本形式的概念与实例.pdf

微分几何

第三章曲面的第一基本形式

§3.3.1第一基本形式的概念与实例

©Copyright

直观导入

.

如何求曲面上相邻两点之间的距离？

已知：റ(,)=റ(,)+റ(,)代表切向量

从而曲面曲线的弧微元平方：

2′22′22

=റ=റ=റ

2

⇒=റ,⋅റ,

=റ,+റ,2

=(റ⋅റ)+2(റ⋅റ)+(റ⋅റ)

一、第一基本形式—概念

令

E(u,v)r(u,v)=r(u,v):(r=r)(u,v)；

uuuu

F(u,v)(r=r)(u,v)(r=r)(u,v)；

uvvu

G(u,v)(r=r)(u,v).

vv

这三个函数,,称为曲面的第一基本量.而矩阵

称为切空间（关于基底റ,റ）的度量矩阵.

3

由于的度量是正定的，度量矩阵也是正定的.

一、第一基本形式—概念

.

事实上，它的2个顺序主子式均正：

=റ⋅റ0；

22

EG−F2r=rrr−rrr=r0.（Lagrange恒等式）

(uu)(vv)(uv)uv

利用第一类基本量,,的定义，有

222

drdr(rdu=+rdv)Edu=+2Fdudv+Gdv.