(2)--1.2_复变函数数学物理方法.pdf

§1.2复变函数

一、复变函数的概念

1、定义

E为复平面上的一个点集，对于E中的每一个点z，按照一定的规律，

有一个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数（复变函数）。z称

为w的宗量，定义域为E，记作:

wf(z),zE

实际问题研究中，一般将复变函数写成实部和虚部和的形式，即

wf(z)u(x,y)iv(x,y),zxiy

复变函数的研究可以完全归结为一对二元实变函数的研究.

2、分类

例1-1：下面函数分别属于上述分类中的哪一种？

2

wazb；wz；wz.

单叶函数多叶函数多值函数

3、几何意义

yv

wf(z)

EE’

变换映射

0x0u

2

例1-2：复平面上有一个点集,问在变换的作用下对应

z1wz

w平面上的点集是什么图形？

yv

2

z1wz

(1,0)

●

0x0u

二、区域及相关概念

1、邻域

以复数z为圆心，以任意小的正实数ε为半径作一圆，则圆内所

0

有点的集合称为z的邻域，记为:

0

{zzz}

0

2、内点

若z及其邻域均属于点集E，则称z为该点集的内点.

00

3、外点

若z及其邻域均不属于点集E，则称z为该点集的外点.

00

4、边界点

若在z的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称z

00

为该点集的边界点。边界点的全体称为边界线.

5、区域

复平面上的点集E如果满足如下两个条件，E就构成区域：

(1)全部由内点组成；

(2)具有连通性，即点集E中任意两个内点都可以用一