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1.2.1初始条件和边值条件

初始条件和边界条件：

数学角度：仅有偏微分方程，解并不唯一。

物理角度：仅有方程不能唯一的、确定的描写某一个具体的物理过程。

在推导方程时，只考虑了介质的内部，并没有考虑介质通过表面和外

界的相互作用。因此，严格来说，方程只适用于介质内部。

如果问题与时间有关的话，在推导方程时也并没有考虑介质的历史状

况。如果我们适当选取计时的零点，那么，就可以说，方程也只适用

于t0的任一时刻。

初始条件和边界条件：

初始条件:初始条件应该完全描写初始时刻t0介质

内部及边界上任意一点的状况。

边界条件：边界条件的形式比较多样化，要由具体问题中描述

的具体状况决定。总的原则是：边界条件应该完全

描写边界上各点在任一时刻t0的状况。

初始条件：

初始条件

对于弦振动来说，初始条件就是弦上质点初始时刻的位移和速度

u

u(x),(x)

t0t

t0

对于热传导方程，表示初始时刻介质中任一点M的温度

u(M,t)t0(M)

Poisson方程和Laplace方程描述稳恒状态，与初始状态无关，所以不提初

始条件。

弦振动方程边界条件：u

弦振动方程边界条件：xaF

（以为端点）

(1)固定端点ds

u0

xa

(2)自由端点，即这个端点不受位移方向的外力T

2aax

u

FTsin2

t

uu

TF(0)0(F0)

xx

xaxa

弦振动方程边界条件：

(3)受到确定的外力：弹性支承端，即弦在这个端点被某个弹性

体所支承。设弹性支承原来的位置u0，则u表示弹性支承

xa

的应变，由Hooke定律知：

uu

TFkuxa或(u)0.

xx

xaxa

k