(3.8)--第八章 微分方程建模.ppt

1第八章微分方程建模1.微分方程简介2.物理原理建模3.人口模型4.传染病模型6.差分方程模型5.平衡点理论及建模7.微分方程的数值解

2第一节微分方程简介

3求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。动态特性描述对象特征随时间（空间）的演变过程求解方法变量的变化率或导数及变量之间的等式关系式叫微分方程模型微分方程

4建立微分方程模型的三种方法1、微元法——变化量相等将所讨论的变量的变化过程，分割成许多微小单元，寻找某一个小区间的动态平衡，从而得到一个近似关系，进而建立出其数学模型。（1）在空间解析几何上，可用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的体积、旋转体体积；（2）代数方面求近似值及流体（3）物理上求变力做功、压力、静心距与重心等问题如：半球形容器,水从它的底部小孔流出，容器里水面的高度h随时间t的变化规律。

52、根据数学物理规律建模利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。如：动力学中，跳伞运动员的安全问题。原理：牛顿运动定律以及阻力和速度的关系。

63、模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。（例如人口、传染病模型）

7第二节物理原理建模

8一、红绿灯问题为使正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯，黄灯应亮多长时间才最为合理。1.1符号定义法定的行车速度a交叉路口的宽度b典型的车身长度w汽车重量μ摩擦系数x汽车行驶的距离T驾驶员的反应时间y黄灯状态的时间

91.2模型的建立与求解由牛顿第二定律可得：即：有初始条件：对（1）式从0到t进行一次积分，并代入初始条件可得：对（2）式从0到t进行一次积分，并代入初始条件可得：（1）（2）

10在式②中令，即可得刹车所用时间为：将③代入得刹车距离为：综上可得黄灯状态的时间为：即：（3）

11二、弹簧振动问题设质量为m的质点固定在弹簧上沿水平轴在有阻力的介质中振动，平衡位置是x=0，由胡克定律可知，质点受弹力-bx，又因其所受阻力与质点运动速度成正比，故阻力为,且设质点受到外力f(t)，综上，由牛顿第二定律可得：可将弹簧振动问题分成以下三种特殊的振动模型：1、简谐振动；2、衰减振动；3、受迫振动

121、简谐振动（无外力且无阻力作用)2、衰减振动（无外力但有阻力作用)3、受迫振动（受外力且受阻力作用，设外力为)

案例分析：放射性废料的处理美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少?已知圆桶质量239.46kg，体积0.2058m3，海水密度ρ=1035.71kg/m3，若圆桶速度小于12.2m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题

（1）判断这种处理废料的方法是否合理?（2）一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何?并求出当速度不超过12.2m/s，圆桶的运动时间t和位移s应不超过多少?(k的值仍设为0.6)1.问题一的模型以海平面上的一点为坐标原点，垂直向下为坐标轴的正向建立坐标系。首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力H和水的阻力f的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒受到的合力F满足（1）

又因为