(3.13)--4.6 某些特殊曲面.pdf

微分几何

第四章曲面的第二基本形式

§4.6某些特殊曲面

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一、导入

本次课介绍常高斯曲率的旋转曲面和平均曲率等于

零的旋转曲面。

一、旋转曲面的Gauss曲率与平均曲率

.

将平面上一条曲线绕着轴旋转，得到旋转曲面.它的参数

方程为

（6.1）

其中.它的母线是平面上的曲线：.则由

可得

一、旋转曲面的Gauss曲率与平均曲率

.

（6.2）

（6.3）

因此参数曲线网是正交的曲率线网，主曲率为

于是Gauss曲率和平均曲率分别为

（6.4）

二、常Gauss曲率的旋转曲面

.

如果是常数，则函数应满足

（6.5）

积分得到

（6.6）

其中为积分常数.即有

于是

二、常Gauss曲率的旋转曲面

（6.7）

1.若，则，其中，为积分常数.当时，

是平面，当时，是圆锥面.另一个的旋转曲面是圆柱面

它不能写成（6.1）的形式.

2.若，令.则由（6.6）可知.设.（6.7）

化为

（6.9）

二、常Gauss曲率的旋转曲面