(3.15)--5.1 .1 自然标架的运动公式.pdf

微分几何

第五章曲面论基本定理

5.1.1、求和约定与符号系统

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在前面两章，我们学习了曲面的第一、第二基本形式，了解到它们与

保持定向不变的参数变换是无关的，与坐标变换也是无关的，所以当曲面

作刚体运动时，两个基本形式是保持不变的。另外根据这两个基本形式，

我们可以描述了曲面在一点附近的形状。

在这一章，我们考虑一个反问题：给定两个二次微分形式

22

E(u,v)(du)2F(u,v)dudvG(u,v)(dv),

22

L(u,v)(du)2M(u,v)dudvN(u,v)(dv),

我们能否确定一个曲面，使得它的第一、第二基本形式正好是上面微

分形式？

5.1.1、求和约定与符号系统

为了将一些式子表达得更有规律，我们把Gauss引入的记号系统改成张

量记号系统.

1212

首先我们把参数u,v改成u,u。这样曲面参数方程记为rr(u,u)，它的偏导记为

12

r(u,u)

r,1,2.

u

5.1.1、求和约定与符号系统

.



Errg,Frrgg,Grrg,

11111212212222



Lrnb,Mrnbb,Nrnb.

11111212212222

另外，记EGF2detgg,LNM2detbb.





gg

用表示度量矩阵的逆矩阵，则有

