(3.23)--6.4常曲率曲面微分几何.pdfVIP

微分几何

第六章测地曲率和测地线

§6.4常曲率曲面

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一、常曲率曲面

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Gauss曲率为常数的曲面称为常曲率曲面.

我们知道球面具有正常高斯曲率，平面的高斯曲率为零，伪球面是负常曲率曲面.

如果两个曲面可以建立保长对应，则这两个曲面在对应点有相同的Gauss曲率.

反之，如果两个曲面有相同的高斯曲率，那么两个曲面一定可以建立保长对应吗?

一般来说，这个是不正确的，但是如果是常高斯曲率，则结论正确.

一、常曲率曲面

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假定曲面S的高斯曲率K是常数.在曲面S上取测地平行坐标系(u,v),则它的第一

基本形式满足

22

IduG)(u,v)dv

G(0,v)1



G

(0,v)0

u

根据高斯曲率的内蕴表达式，我们有

1(E)v(G)u1

K(G),

uu

EGGEG

vu

一、常曲率曲面

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所以G作为u的函数满足常系数二阶线性齐次方程

(G)KG0,(1)

uu

初始条件是G(0,v)1,(G)(0,v)0.

u

2

方程(1)的特征方程是K0,因此根据K的不同符号，方程(1)的通解为

K0,Ga(v)cos(Ku)b(v)sin(Ku),