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微分几何
第六章测地曲率和测地线
§6.4常曲率曲面
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一、常曲率曲面
.
Gauss曲率为常数的曲面称为常曲率曲面.
我们知道球面具有正常高斯曲率,平面的高斯曲率为零,伪球面是负常曲率曲面.
如果两个曲面可以建立保长对应,则这两个曲面在对应点有相同的Gauss曲率.
反之,如果两个曲面有相同的高斯曲率,那么两个曲面一定可以建立保长对应吗?
一般来说,这个是不正确的,但是如果是常高斯曲率,则结论正确.
一、常曲率曲面
.
假定曲面S的高斯曲率K是常数.在曲面S上取测地平行坐标系(u,v),则它的第一
基本形式满足
22
IduG)(u,v)dv
G(0,v)1
G
(0,v)0
u
根据高斯曲率的内蕴表达式,我们有
1(E)v(G)u1
K(G),
uu
EGGEG
vu
一、常曲率曲面
.
所以G作为u的函数满足常系数二阶线性齐次方程
(G)KG0,(1)
uu
初始条件是G(0,v)1,(G)(0,v)0.
u
2
方程(1)的特征方程是K0,因此根据K的不同符号,方程(1)的通解为
K0,Ga(v)cos(Ku)b(v)sin(Ku),
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