(3.27)--1.1.2 三维欧氏空间中的标架.pdf

微分几何

第一章预备知识

§1.1.2三维欧氏空间中的标架

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一、导入

y

取定坐标系

oax

半径为a的圆222

+=

标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁！

二、标架与正交标架集合

(一）标架

1.仿射标架：共始点的三个不共面向量,,构成的图形

O;OA,OB,OC.C

B

P

3P

2

P

O

P

1

A

二、标架与正交标架集合

(一）标架

2.标架的定向：3维：右手系、左手系；高维：行列式的正负.

3.正交标架：单位、正交构成右手系的标架O;i,j,k.

简称正交标架(OrthogonalFrame).

由正交标架给出的坐标系叫笛卡尔直角坐标系

思考：在笛卡尔直角坐标系下，向量的各种运算、两点间距离

公式的坐标表示？

4.取定正交标架下，三维欧式空间E33

等同于三维向量空间R.

二、标架与正交标架集合

(二）正交标架集合

1.正交矩阵：

1）定义：满足TT

AAE或AAE的实方阵.

2）性质：若A,B为正交阵，则

●可逆，−1TA*TT

AAA,也为正交阵；●AAAAE;

●AX,AY=X,Y;●A=1;

A

●的各行（或列）为两两正交的单位向量；