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三角专题四练习

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCcoseq\f(B,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－cosC))sineq\f(B,2).

(1)当B＝eq\f(π,3)时，求sinC＋sinA的值；

(2)求B的最大值．

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B＝sinAsinC．

(1)求B的最大值；

(2)若4sinAsinC＝1，求eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＋eq\f(1,tanC)的值．

3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosB－2eq\r(2)sinB)cosA＝0.

(1)求cosA的值；

(2)若b＋c＝1，求a的取值范围．

4.在①(b－c)2＝a2－bc，②2c＝eq\r(3)asinC＋ccosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________.

(1)求A的值；(2)若△ABC的外接圆半径为eq\r(3)，求b＋c的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知eq\f(cosB,ab)＋eq\f(cosC,ac)＋eq\f(2cosA,bc)＝0.

(1)求A；

(2)若a＝2eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围．

6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)，bsinA＝4(sinAcosC＋cosAsinC)．

(1)求a的长度；

(2)求△ABC周长的最大值．

7.已知在△ABC中，∠A＝120°，∠A的角平分线与BC相交于点D．

(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；

(2)若AD＝1，求△ABC面积的最小值．

8.在△ABC中，内角A，B，C满足2a2＋b2＝2c2且B≠90°.

(1)求证：tanC＝3tanA；

(2)求eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＋eq\f(1,tanC)的最小值．

三角专题四练习答案

1.解(1)由题意，得sinCcoseq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－cosC))sineq\f(π,6)，即eq\f(\r(3),2)sinC＋eq\f(1,2)cosC＝eq\f(\r(3),3)，

则sinC＋sinA＝sinC＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝eq\f(3,2)sinC＋eq\f(\r(3),2)cosC＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)cosC))＝1.

(2)sinCcoseq\f(B,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－cosC))sineq\f(B,2)，两边同乘以2coseq\f(B,2)，得2sinCcos2eq\f(B,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－cosC))·2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)，即sinC(1＋cosB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－cosC))sinB，

整理，得sinC＋sinA＝eq\f(2\r(3),3)sinB．由正弦定理，得a＋c＝eq\f(2\r(3),3)b.

由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(?a＋c?2－b2－2ac,2ac)＝eq\f(b2,6ac)－1.

因为ac≤eq\f(?a＋c?2,4)＝eq\f(1,3)b2，当且仅当a＝c时等号成立，此时cosB＝eq\f(b2,6ac)－1≥－eq\f(1,2)，由于B∈(0，π)，而y＝cosx在(0，π)上单调递减，故B的最大值为eq\f(2π,3).

2.解(1)因为sin2B＝sinAsinC，所以b2＝ac.由余弦定理知，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)

＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c时，等号成立，所以cosB≥eq\f(1,2)，则