(3.35)--2.6.2 切触与曲率圆.pdf

微分几何

第二章曲线论

§2.6.2切触与曲率圆

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一、n阶切触——概念

C:rr(s),C:rr(s)pOpr(0)r(0)

定义设两条弧长参数曲线相交于，

1112220012

取pC,pC，使得pppps，若有正整数使得

11220102n

|pp||r(s)−r(s)|

1212

limlim0，

s→0sns→0sn

（6.9）

|r(s)−r(s)|

lim120.

n+1

s→0s

Cp

则称与在处有n阶切触

1C20

二、n阶切触——判定

定理6.1设两条弧长参数曲线C:rr(s),C:rr(s)在s0处相交，则

111222

s0

它们在处有n阶切触的充要条件是

r(k)(0)r(k)(0)k1,2,,n，r(n+1)(0)r(n+1)(0)

12，12（6.10）

ss=−0sC,Cr(0)r(0)

证明在处，有.因为在处相交，所以

s012s012

根据Taylor公式，n+1k

r(s)−r(s)sr(k)(0)−r(k)(0)=+o(sn+2)