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微分几何

第二章曲线论

§2.7.1Bertrand曲线偶（一）

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一、Bertrand曲线偶相关概念

设两条正则参数曲线C:rr(t),C:rr(u)之间存在一个一一对应关系

111222

tu(t)C.C:rr(t)C,C

u(t)0

，.对曲线作参数变换，可设222，从而之间的

212

一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.

定义7.1如果两条互不重合的曲线n

CC

121

C,C之间存在一个一一对应，使得它们

12



在对应点有公共的主法线，则称这两条曲

线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称

为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.

二、Bertrand曲线偶的存在性

在平面上，每一条正则曲线C:rr(s)(x(s),y(s))都有侣线，构成

Bertrand曲线偶.

sC(s)(x(s),y(s))C(s)C

证明设是的弧长参数，是的单位切向量，是

n(s)(−y(s),x(s))|()|1s[0,b]

令.取充分小的非零实数使，.则

的曲率.

C:r(s)r(s)=+n(s)

11

C

是曲线的侣线.

nnx2=+y2=1nn0n⊥nn0

事实上，因