(3.49)--3.5.1 保长对应微分几何.pdf

微分几何

第三章曲面的第一基本形式

§3.5.1保长对应

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一、曲面到曲面的对应

.

设有两个曲面S:rr(u,v),(u,v)=D和S:rr(u,v),(u,v)=D.因为曲

1111111122222222

pSS

面上的点与它参数（曲纹坐标）是一一对应的，从曲面到曲面的

12

映射:S1→S2可以通过其参数变换表示出来，即有映射:D1→D2使得

33

−1−1ESSE

rr，或rr.12

2121

rr

12



DD

12

将映射:S1→S2通过它的参数变换，用两个函数表示出来，则有

=(,),=(,).

211211

若上述参数变换都是连续可微的（或容许参数变换），则称为

连续可微的对应（或正则对应，简称对应）.

二、曲面间的保长对应——概念与判定



以下总假定映射有足够的连续可微性.底面圆周长

定义5.1曲面间的一个对应，若保持曲面上任意

曲线的长度不变，称该对应称为保长对应（等距对应）

注：合同变换是保长对应，反之不真.因此保长对应的范围更广.

定理5.1:→为保长对应⇔在对应点的第一基本形式相等.

1

证明⟹设:→为保长对应，在对应点处取相同的参数，则

1

上任一条曲线与