(2.1)--3.2邻域基和拓扑基中的成员：可数性.ppt

1.第一可数空间2.第二可数空间3.拓扑性质的可乘性和遗传性主要内容

1第一可数空间PARTONE

量子力学定义3.2.1：拓扑空间中点的一个邻域基(neighborhoodbase或localbase)，指由的邻域构成的子集族，使得的任何邻域均包含中的某个邻域。

定义3.2.2：如果点的一个邻域基只含可数多个成员，则称之为的可数邻域基(countableneighborhoodbase)。条件()：每个点都拥有一个可数邻域基称之为第一可数公理(firstaxiomofcountability)；满足该条件的空间称为第一可数空间(first-countablespace)

例1：度量拓扑空间都是第一可数空间，因为对每个点来说，就是它的一个可数邻域基。

命题3.2.1：若有一个可数邻域基，则有一个可数邻域基，使得当时，总有。证明：设时的一可数邻域基，令，则当时就一定有。任取的邻域，存在某个正整数，使得，从而。这说明也是的邻域基。

2第二可数空间PARTTWO

定义3.2.3：如果拓扑基只含可数多个成员，则称之为可数拓扑基(countabletopologicalbase)；条件：存在（拓扑空间的而不是集合的）可数拓扑基称之为第二可数公理(secondaxiomofcountability)；满足该条件的空间称为第二可数空间(second-countablespace).

例2：维欧氏空间是第二可数空间：令每个则它就是一个可数拓扑基。例3：上的离散拓扑不满足第二可数公理。对于它的任何拓扑基来说，每个单点集因为是开集，所以必须是的一个成员。但是单点集有不可数多个（因为不可数），因此的成员也要有不可数多个。

易验证第二可数空间一定是第一可数空间，但反过来不一定成立。实际上离散拓扑是可以由度量诱导出来的，而度量空间一定是第一可数空间，因此上的离散拓扑就是一个满足第一可数公理但不满足第二可数公理的例子。

第二可数公理是一个很好用的公理，对于分析学来说非常重要，但也是一个非常强的公理，你不能想当然地认为实际应用中遇到的空间都应当自然地满足它.

命题3.2.2：第二可数空间可分。证明：回忆一下，我们在第一章讲闭包的时候是这样定义可分的：可分是指存在可数稠密子集，即一个可数集使得。设是的一个可数拓扑基，在每个成员中取一个点，并取，则任何开集都要包含中的某个点，这就说明中每个点都是的闭包中的点，即是一个可数稠密子集。

量子力学命题3.2.3：可分度量空间是第二可数空间。证明：设是的一个可数稠密子集，取可数开集族我们来证明任何开集都是这些特别挑选的球形邻域的并集。任取，存在正整数，使得。在中取一点，则，而。由的任意性可知，是若干个中的球形邻域的并集。这就说明是可数拓扑基.

3拓扑性质的遗传性和可乘性PARTTHREE

遗传性：一种拓扑性质成为有遗传性的，如果一个拓扑空间具有它时，子空间也必具有它；可乘性：一种拓扑性质称为有可乘性的，如果两个空间都具有它时，它们的乘积空间也具有它。注：可分性是可乘的，但不具有遗传性；分离性中T1,T2,和T3公理都有遗传性和可乘性，T4公理这两种性质都不具有.两个可数性公理都具有遗传性和可乘性.

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