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1.乘积空间与紧致性举例2.乘积空间与紧致性主要内容
1乘积空间与紧致性举例PARTONE
例子例1：设是一个拓扑空间，则是紧致的，构造乘积拓扑是中的有界闭集是紧致空间.类似地，也是紧致空间.一般地，记,则.
例2：是紧致的,构造二维环面是紧致的.类似地，构造维环面，维环面也紧致.例3：维圆盘与维单位球面紧致.
2乘积空间与紧致性PARTTWO
定理2.7：紧致,当且仅当与都紧致.注：可推广:若紧致当且仅当紧致.
证明：(必要性)若紧致，因为投射和是连续满射，所以与都是紧致空间.(充分性)只要对乘积拓扑的拓扑基证明有限覆盖性即可.设是中形如的开覆盖.任取,由于紧致,所以作为的子空间紧致,故可找到的有限子族,覆盖.记,则也覆盖.由于是X的开覆盖并且紧致,故存在有限多个覆盖,从而是的有限覆盖.
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