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第3章数组(矩阵)运算

3.4矩阵运算3.4.1矩阵的算术运算矩阵的算术运算是指按照高等代数中矩阵的运算法则进行的运算，主要有加、减、乘、除、幂运算和转置运算。1.矩阵的加减运算：矩阵的加减运算与数组的加减运算规则完全相同。2

3.4矩阵运算2．矩阵的乘法A*B计算矩阵A和B的乘积。A和B其中之一可以是一个数，其结果是这个数乘以矩阵中的每个元素，相当于数乘矩阵。3

3.4矩阵运算3．矩阵的左除（\）和右除（/）A\B相当A-1*B（A的逆阵乘B），左除可以用于求解线性方程组Ax=B的解。B/A相当B*A-1，右除可以用于求解线性方程组xA=B的解4。

3.4矩阵运算5

3.4矩阵运算4、矩阵的幂运算：^A^BA的B次方。（1）A和B都是标量时，表示标量A的B次幂。（2）A为矩阵，B为标量时，要求A必须是方阵。（a）B为正整数时，幂运算即为矩阵A的自乘运算，B为自乘次数。（b）B为负整数时，幂运算为A-1的自乘运算，-B为矩阵自乘的次数6

3.4矩阵运算（c）当B为非整数的标量时，其中V为方阵A的特征向量矩阵，为方阵A的特征值对角矩阵。7

3.4矩阵运算（3）当A为标量，B为矩阵时，要求B为方阵。其中V为方阵B的特征向量矩阵，为方阵B的特征值对角矩阵。（4）A和B都是矩阵时，无定义。8

3.4矩阵运算9

3.4矩阵运算5.矩阵的转置A.求矩阵A的转置A如果A是复矩阵，则运算结果是共轭转置。10

3.4矩阵运算3.4.2矩阵的其他运算1.共轭矩阵的计算B=conj(A)11

3.4矩阵运算2.逆矩阵的计算B=inv(A)求矩阵A的逆。计算逆矩阵的方法出可以用幂运算实现，如A^(-1)例3-24矩阵的逆 A=magic(3)%创建一个3?3的魔方阵 A= 816 357 49212

3.4矩阵运算3.秩的计算r=rank(A)例3-25求矩阵的秩。 A=magic(3) A= 816 357 49213

3.4矩阵运算4.特征值和特征向量的计算MATLAB中，求方阵的特征值和特征向量的函数为eig，调用格式如下：e=eig(A)求方阵A的特征值。[V，D]=eig(A)求得方阵A的特征值组成的对角阵D和特征向量矩阵V，例3-26A=magic(3)，求A的特征值14

3.4矩阵运算?15

3.4.2矩阵的其他运算6．矩阵的分解（1）LU分解LU分解是把矩阵A分解为两个矩阵的乘积，其中一个是下三角矩阵置换后的矩阵，另一个是上三角矩阵。MATLAB实现LU分解的函数是lu。[L，U]=lu(A)把矩阵A分解为下三角矩阵的置换矩阵L和上三角矩阵U，满足A=L*U。[L，U，P]=lu(A)把矩阵A分解为下三角矩阵L，上三角矩阵U和置换矩阵P。满足P*A=L*U。例3-28对三阶随机阵进行LU分解16

3.4.2矩阵的其他运算（2）Cholesky分解一个对称正定矩阵可以分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，这种分解称为Cholesky分解。MATLAB实现Cholesky分解的函数是chol。R=chol（A）求上三角矩阵R，满足R*R=A由于chol只能分解对称正定矩阵，因此使用chol之前应先通过检查A的特征值是否为正，判断A是否为对称正定矩阵。17

例3-29Cholesky分解A=[2，2，-2;2，5，-4;-2，-4，5]A= 22-2 25-4-2-4518

3.4.2矩阵的其他运算（3）QR分解QR分解是把矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。MATLAB中实现QR分解的函数是qr。[Q，R]=qr(A)把矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，满足A=Q*R。例3-30QR分解A=rand(2,3)然后对A做QR分解19