(3.1.5)--2018年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文.pdf

高温作业专用服装设计

摘要

本文主要研究的是基于一维热传导温度分布的高温服装设计问题，需要建立多边界

耦合的一维热传导偏微分方程，得到温度关于时空参量的网格分布，结合设计的约束条

件，对各层服装材料的最优厚度进行确定。

针对问题一，基于Fourier定律和能量守恒定律，建立多介质层耦合的一维热传导

偏微分方程组，初始条件左边界满足Dirichlet条件，右边界满足Robin条件，中间各边

界控制条件为热流量相等、接触面温度相等，考虑牛顿冷却定律，采用最小二乘法，得

到该实验环境下的最优热交换系数h8.64202。

W/mC

对建立的热传导方程采用向后差分方法进行数值求解，得到热传导方程的离散化表

达式，从而在四段区域的每一段得到温度分布函数的迭代控制式。在不同层的接触面，

同样对热流量相等条件进行向后差分，得到边界温度分布函数的控制式，最终建立形如

AXb的三对角矩阵方程组，采用追赶法求解，最终得到实验时间下的温度分布网格

矩阵，即离散化的温度分布数据。最后以附件2中右边界的实测数据与模型计算数据做

差，建立误差分析模型，得到计算值与测量值的最大绝对误差为1.9583mm，最大相对

误差为4.95%，最大绝对误差为，模型适用性较好

针对问题二，基于问题一多介质层耦合的一维热传导偏微分方程组，建立单目标最

优化参数求解模型，在题目所给温度限制条件下，用步长为0.01mm的枚举法对第二层

厚度进行有哪些信誉好的足球投注网站，得到满足条件的所有可行解，从中取最小值，得到第二层最优厚度为

19.20mm。

对于模型稳定性，通过改变环境温度和实验时间对最优解进行边际弹性分析,环境

温度参量范围为6369，每次实验增加一个单位长度，得到最优解关于实验温度的相

对变化率；最优厚度与环境温度成近似线性关系，模型结果稳定性较好。

针对问题三，在问题二的基础上建立双目标优化模型，采用枚举法，利用追赶法进

行循环迭代，得到可行解。

对于目标函数，不考虑不同介质层材料对服装设计成本的影响，以第二层与第四层

厚度之和最小化为优化准则，求解得到第二层为21.9mm，第四层为6.4mm,总和为

28.3mm；考虑到第二层材料具有材料成本，第四层空隙对成本无影响，以服装设计成

本最小为目标函数，在可行域内得到最优解为第二层为21.9mm,第四层为6.4mm。

对于模型稳定性，通过改变空间剖分细度对最优解进行边际弹性分析，空间剖分数

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的取值范围为到，每次实验增加五个剖分数，得到最优解关于空间剖分数的相对

变化。

关键词：一维热传导方程向后差分追赶法枚举法边际弹性分析

一、问题重述

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织

物材料构成，记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层，其中Ⅰ层与外界环境接触，Ⅲ层与皮肤之间还存在空

隙，将此空隙记为Ⅳ层。

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为设计专用服装，将体内温度控制在℃的假人放置在实验室的高温环境中，测

量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确

定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：

(1)根据所给出的专用服装材料的某些参数值，对环境温度为℃、Ⅱ层厚度为

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6mm5mm90

、Ⅳ层厚度为、工作时间为分钟的情形开展实验并测量得到假人皮肤外侧

的温度。请建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件。

655.5mm

(2)当环境温度为℃、Ⅳ层的厚度为时，确定Ⅱ层的最优厚度，确保工作

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