常微分方程--课件.pptVIP

令人十分遗憾的是，一般而言,偏微分方程(1.57)是不易求解的。???(1.57)下面我们给出两种特殊的积分因子的求法.尽管如此,方程(1.57)还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.*ppt课件(1.59)此时求得积分因子*ppt课件事实上*ppt课件定理.微分方程*ppt课件所以原方程的通解故所给初值问题的通解为Q.E.F.*ppt课件例3求方程通解.解:但将它改写为故其通解为Q.E.F.*ppt课件1.4.2伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束*ppt课件例4求方程的通解.解:解以上线性方程得Q.E.F.*ppt课件例5.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束Q.E.F.*ppt课件*ppt课件1.5全微分方程及积分因子第五讲*ppt课件?1.5.1全微分方程如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解*ppt课件则称(1.10)是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式(1.46)的原函数.例如：都是全微分方程.1.全微分方程的定义定义.?如果微分形式的一阶方程的左端恰好是一个二元函数U(x,y)的全微分，即这是因为*ppt课件定理1.1假如U(x,y)是微分(1.46)的一个原函数，(1.49)其中c为任意常数。?证明：先证(1.10)的任一解y=y(x)均满足方程(1.49).因为y=y(x)为(1.10)的解，故有恒等式因为U(x,y)为(1.10)的原函数，所以有，从而于是y=y(x)满足(1.49).则全微分方程(1.10)的通积分为再证明(1.49)所确定的任意隐函数y=y(x)均为(1.10)的解。*ppt课件因为是由(1.49)所确定的隐函数,所以存在常数c,使(1.49)将上式微分并应用U(x,y)是(1.46)的原函数的性质，即有从而y(x)是方程(1.10)的解。Q.E.D.根据上述定理，为了求解全微分方程(1.10)，只须求出它的一个原函数，就可以得到它的通积分。下面我们需考虑的问题是：(2)若(1.10)是全微分方程,怎样求解?(3)若(1.10)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?(1)方程(1.10)是否为全微分方程?*ppt课件2.方程为全微分方程的充要条件定理1.2为全微分方程的充要条件是?证明:必要性设(1.10)是全微分方程，则存在原函数U(x,y)，使得*ppt课件所以将以上二式分别对y和x求偏导数，得到因为M，N连续可微，所以成立，即(1.50)成立.充分性设(1.50)在区域R内成立，现在求一个二元函数U(x,y)，使它满足*ppt课件即由第一个等式，应有其中为y的任意可微函数，为使U(x,y)再满足第二个等式必须适当选取，使满足由参变量积分的性质和条件(1.50)，上式即为*ppt课件必须适当选取，使满足由参变量积分的性质和条件(1.50)，上式即为都在定理.(可微性)*ppt课件因为只要一个就够了，故取c1=0.(1.51)就是所求的原函数，从而全微分方程(1.10)的通积分是于是，函数*ppt课件(1.52)Q.E.D.定理1.2不但给出了判断方程(1.10)为全微分方程的充要条件,而且给出了当判别式(1.50)成立时，(1.51)式就是(1.10)左端的原函数，而(1.52)就是(1.10)的通积分.3.求原函数的方法(1)不定积分法*ppt课件例1.验证方程是恰当方程,并求它的通解.解:故所给方程是全微分方程.*ppt课件积分后得:故从而方程的通解为Q.E.F.*ppt课件(2)分组凑微法(直接观察法)采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分如*ppt课件例2.求方程的通解.解: