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非阿贝尔交换子的表示论

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第一部分非阿贝尔群的定义 2

第二部分群作用在向量空间上 4

第三部分表示的同构与分解 7

第四部分约当标准型与表示不可约性 9

第五部分李代数中的表示理论 11

第六部分模表示与半单李代数 14

第七部分量子群的表示论 17

第八部分表现论应用于代数几何 19

第一部分非阿贝尔群的定义

关键词

关键要点

【非阿贝尔群的定义】：

1.非阿贝尔群是一个群，其中元素的乘法运算不满足交换律，即对于群中任意元素a和b，a*b≠b*a。

2.非阿贝尔群在数学和物理学中有着广泛的应用，包括几何、拓扑和量子力学。

3.理解非阿贝尔群的性质对于研究群论和相关领域至关重要。

【非阿贝尔群的例子】：

非阿贝尔群的定义

在数学中，非阿贝尔群是指群操作（通常denoted为乘法）不满足交换律的群。换句话说，如果一个群G对于任意群元素a和b，都有ab=ba成立，则称G为交换群；否则，G称为非阿贝尔群。

形式定义

形式上，非阿贝尔群可以定义为一个二元运算（通常表示为乘法）满足以下性质的集合：

*结合律：对于所有a、b、c∈G，都有(ab)c=a(bc)。

*单位元：存在一个唯一的单位元e∈G，使得对于所有a∈G，都有ea=a和ae=a。

*逆元素：对于每个a∈G，存在一个逆元素a^-1∈G，使得aa^-1=a^-1a=e。

*非交换律：存在至少一对元素a、b∈G，使得ab≠ba。

非阿贝尔群的例子

非阿贝尔群的例子包括：

*对称群S_n，其中n≥3

*二面体群D_n，其中n≥3

*一般线性群GL(n,F)，其中n≥2且F是一个域

*正交群O(n)，其中n≥3

*交换群的直积，其中至少一个因子不是交换群

非阿贝尔群的性质

非阿贝尔群的性质与交换群的性质有显著不同。其中一些关键性质包括：

*中心：非阿贝尔群的中心，即所有与所有群元素可交换的元素的集合，通常是严格的子群。

*子群：非阿贝尔群的子群不一定都是交换的。

*正规子群：非阿贝尔群的正规子群不一定都是正规的。

*同构：非阿贝尔群的两个子群可能同构，即使它们在群中的位置不同。

非阿贝尔交换子的表示论

非阿贝尔交换子的表示论是一个活跃的研究领域，其目标是找到和研究群元素的线性表示。这些表示对于理解群的结构、性质和应用至关重要。非阿贝尔交换子的表示论比交换群的情况复杂得多，因为群元素的顺序不再无关紧要。

应用

非阿贝尔群在许多数学领域都有应用，包括：

*代数拓扑学

*伽罗瓦理论

*表示论

*数论

*几何

非阿贝尔交换子的表示论在这些领域中发挥着至关重要的作用，它提供了强大的工具来研究和理解群的复杂性和各种应用。

第二部分群作用在向量空间上

关键词

关键要点

群作用在向量空间上

1.向量空间定义和运算：

-向量空间是一个具有加法运算和数乘运算的集合。

-这些运算满足交换律、结合律、单位元和逆元等性质。

2.线性变换：

-线性变换是向量空间之间的映射，其满足加法性和数乘性。

-它保留向量空间的结构，如线性子空间和维度。

3.群作用：

-群作用是群到线性变换集合的映射，满足群乘法的结合性和映射的关联性。

-它描述了群如何作用于向量空间，形成一个表示。

非阿贝尔交换子的表示论

1.非阿贝尔群：

-非阿贝尔群的乘法运算不满足交换律。

-它们比阿贝尔群更复杂，具有丰富的结构。

2.交换子的概念：

-交换子是两个群元素之间的差的乘积，度量它们的非交换性。

-交换子的值表示群的非阿贝尔程度。

3.表示论中的交换子：

-表示论将群作用表示为矩阵或算子。

-交换子的表示是对交换子在向量空间上的作用的描述。

-它有助于理解非阿贝尔群的结构和表示的性质。

群作用在向量空间上

定义

群作用在向量空间上是指群的一个自同构群作用于向量空间。

表示

一个群作用在向量空间V上可以用一个群同态表示：

```

ρ:G→GL(V)

```

其中G是群，GL(V)是V上的可逆线性变换群。表示ρ将群G中的每个元素g映射到一个可逆线性变换ρ(g)：

```

ρ(g):V→V

```

不可约表示

完全可约性

一个群作用是完全可约的，如果它可以表示成不可约表示的直和。这意