泰勒公式的证明及应用.doc

摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成局部，是一种非常重要的数学工具。它集中表达了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。

关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用

绪论

随着近代微积分的开展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式

称为函数在点处的泰勒多项式，假设函数在点存在直至阶导数，那么有

即

称为泰勒公式.

众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中表达了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

一、预备知识

1.1泰勒公式余项的类型

泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，表示余项是比〔当时〕高阶的无穷小。如，表示当时，用近似，误差〔余项〕是比高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项〔也可以写成〕。

泰勒公式的定理

带有佩亚诺〔Peano〕余项的泰勒公式

如果函数在点存在直至阶导数，那么有，即

带有拉格朗日〔Lagrange〕余项的泰勒公式

如果函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，那么对任意给定的，至少存在一点，使得特别的，时，，此时上式称之为麦克劳林〔Maclaurin〕公式，根据的不同，麦克劳林公式又分带有佩亚诺余项的麦克劳林公式和带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。

泰勒公式的意义

我们在学习导数和微分概念时知道，如果函数在一点处可导，那么有在这点附近用一次多项式去逼近函数，其误差为的高阶无穷小量。再用二次多项式或高于二次多项式去逼近。我们可以看出二次切线或者高次切线与曲线的接近程度比一次切线要好，当然次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度越来越高。

泰勒公式的意义就是，用一个次多项式来逼近函数，而多项式具有形式简单，易于计算、近似程度高等优点。

二、泰勒公式的证明

泰勒公式的证明

两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不阻碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。

定理1：〔带有佩亚诺型余项的泰勒公式〕假设函数在点存在直至阶导数，那么有，

即。

证明：设

，，

现在只要证

由可知，

，

并易知

因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达〔LHospital〕法那么次，得到

所以定理1成立。

定理2：假设函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，那么对任意给定的，至少存在一点，使得证明：作辅助函数

，

所以要证明的〔1〕式即为

不妨设，那么与在上连续，在内可导，且

又因，所以由柯西中值定理证得

其中

所以定理2成立

三、泰勒公式的实际应用

例1求极限

分析：此题可以用洛必达法那么来求解，但要用四次，比拟繁琐，这里我们就可以用带有佩亚诺余项的泰勒公式求解。由于极限式的分母为，我们用麦克劳林公式来表示极限的分子〔取〕

解：

因而求得

例2设，求

解：

所以

又在处的麦克劳林展开式为

因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题。综上所述，在式子满足以下情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：

用洛必达法那么时，次数比拟多、求导过程和化简过程比拟复杂的情况。

分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。

函数可以很容易的展开成泰勒公式。

在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数是否收敛，通常找一个简单的函数，，在用比拟判定法来判定，但是在实际应用中比拟困难的问题是如何选取适当的〔中的值〕？

如：当，此时收敛，但是

但是当时，此时收敛，但是

在这种情况下我们就无法判定的敛散性，为了更好的选取中的