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西安石油大学现代数值计算方法课件

?引言?数值计算基础?线性方程组求解?非线性方程求解?数值积分与微分?矩阵特征值与特征向量?优化算法contents目录

01引言

课程背景010203

课程目标030201

02数值计算基础

数值代数矩阵运算线性方程组的数值解法线性最小二乘问题

数值微积分数值微分数值积分多重积分

数值逼近插值函数逼近

03线性方程组求解

高斯消元法总结词详细描述

LU分解法总结词详细描述

迭代法总结词迭代法是一种求解线性方程组的迭代过程，通过不断迭代逼近方程组的解。详细描述迭代法的基本思想是构造一个迭代公式，通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛条件。这种方法适用于系数矩阵为非方阵或系数矩阵不可逆的情况，计算效率较高，但需要选择合适的迭代公式和收敛条件。

04非线性方程求解

牛顿法总结词详细描述

拟牛顿法总结词详细描述避免了直接计算雅可比矩阵，降低了计算量，但需要存储较多的矩阵信息。拟牛顿法是牛顿法的改进版，通过引入拟牛顿矩阵来近似代替雅可比矩阵，避免了直接计算雅可比矩阵，从而降低了计算量。然而，由于需要存储较多的矩阵信息，该方法在处理大规模问题时可能会占用较多的存储空间。VS

信赖域方法要点一要点二总结词详细描述适用于约束优化问题，能够处理非线性、非凸问题，但求解速度较慢。信赖域方法是另一种求解非线性方程的算法，它通过在每一步迭代中构建一个信赖域，并在这个区域内寻找方程的近似解，然后根据近似解的优度来更新信赖域的大小和位置。该方法能够处理非线性、非凸问题，尤其适用于约束优化问题。然而，由于每一步都需要重新构建信赖域和求解子问题，因此求解速度较慢。

05数值积分与微分

复化积分法总结词详细描述

复化微分法总结词详细描述

自适应积分法总结词描述

06矩阵特征值与特征向量

幂法总结词：迭代算法详细描述：幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的某个特征值和对应的特征向量。它通过迭代的方式逐步逼近目标特征值和特征向量，最终得到近似解。

幂法010203算法步骤1.选取初始向量，通常为单位向量。2.计算矩阵与当前向量的乘积，得到新的向量。

幂法

反幂法

反幂法010203

反幂法3.将新的矩阵归一化，作为新的近似逆矩阵。4.重复步骤2和3，直到满足收敛条件。收敛性分析：反幂法的收敛性取决于初始矩阵的选择和矩阵的性质。对于某些特殊矩阵，如可逆矩阵或正定矩阵，反幂法具有收敛性。

QR方法总结词：迭代算法详细描述：QR方法是一种迭代算法，用于计算矩阵的特征值和特征向量。它通过将原矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，逐步逼近目标特征值和特征向量，最终得到近似解。VS

QR方法

QR方法

07优化算法

梯度下降法总结词详细描述

牛顿法总结词详细描述一种基于函数二阶导数的迭代算法，通过构建和求解牛顿方程来找到最优解。牛顿法的基本思想是通过泰勒级数展开来逼近函数的最小值。在每次迭代中，它构建一个二次模型来逼近目标函数，并求解该模型的牛顿方程来找到下一个迭代点。该方法收敛速度快，但需要计算二阶导数，且可能面临过拟合和鞍点问题。

非线性规划方法总结词详细描述一种用于解决非线性约束优化问题的算法，通过迭代更新解来满足约束条件和目标函数。非线性规划方法是一种广泛应用的优化算法，适用于具有非线性约束和目标的优化问题。它通过迭代更新解，并使用一阶或二阶导数信息来找到满足所有约束条件的解。常见的非线性规划方法包括梯度投影法、共轭梯度法等。

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