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第一讲等差数列
知识要点与学法指导:
这一讲我们主要学习简单的数列求和,所用知识是等差数列的求和公式和等差数列等概
念。
数列:按一定次序排列的数叫数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫
做第1项(首项)、第2项……第n项(末项)。
等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个
常数,那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。
数列求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2
用字母表示为s=(a+a)×n÷2
1n
项数=(末项-首项)÷公差+1
用字母表示为n=(a-a)÷d+1
n1
末项=首项+公差×(项数-1)
用字母表示为an=a1+d×(n-1)
例1计算:3+6+9+……+90
【分析与解】
这是一个公差为3的等差数列,求和是多少,这个数列的首末两项和是3+90=93,而
第二项与倒数第二项的和是6+87=93,可以发现,与首末等距离的两项的和都是93,于是
可以想到,求这个数列的和,只要用首末两项的和乘以项数再除以2就可以了。但项数并不
能直接看出来,需要用(末项-首项)÷公差+1计算出来。
项数:(90-3)÷3+1
=87÷3+1
=29+1
=30
原式=(3+90)×30÷2
=93×30÷2
=1395
试一试1
计算:19+22+25+28+……+313
例2试求大于100而小于200的所有4的倍数之和。
【分析与解】
每4个连续数必有一个数是4的倍数,大于100又是4的倍数的第一项是104,小于200
又是4的倍数中最大的一个是200-4=196即末项,这个数列的公差是4,通过首项、末项
和公差可以求出项数。这个数列即:104、108……196
项数:(196-104)÷4+1
=92÷4+1
=23+1
=24
数列和:(104+196)×24÷2
=300×24÷2
=3600
答:大于100而小于200的所有4的倍数和是3600。
试一试2
求大于100而小于200所有5的倍数的和。
例3下面的一列数是不是等差数列?求出它的第90项。
2+54+86+118+1410+17……
【分析与解】
判断上面一列数是不是等差数列,可以分两步观察,做出分析,先分析第一个加数,再
分析第二个加数,如果两个加数分别处在等差数列之中,那么它们的和一定是等差数列。
2+5
4+8
6+11
8+14
10+17
……
第一个加数2、4、6、8、10、……是等差数列;
第二个加数5、8、11、14、17、……是等差数列;
题中给的一列数是等差数列。
第90项的第一个加数是:2+(90-1)×2=180
第二个加数是:5+(90-1)×3=272
第90项是:180+272
答:第90项是180+272。
试一试3
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