新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题36直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版+解析).docxVIP

专题36直线与圆、圆与圆的位置关系

【考点预测】

一．直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二．直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，

消元得到一元二次方程，判别式为，则：

直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离．

三．两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

两圆相交；

两圆外切；

两圆相离

两圆内切；

两圆内含（时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系

相离

外切

相交

内切

内含

几何特征

代数特征

无实数解

一组实数解

两组实数解

一组实数解

无实数解

公切线条数

4

3

2

1

0

【方法技巧与总结】

关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆上一点的圆的切线方程为．

（2）过圆上一点的圆的切线方程为

（3）过圆上一点的圆的切线方程为

（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

【题型归纳目录】

题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）

题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题

题型三：直线与圆的相离关系

题型四：圆与圆的位置关系

题型五：两圆的公共弦问题

【典例例题】

题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）

例1．（2023·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（???????）

A．－2 B．2 C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（???????）

A． B． C． D．

例3．（多选题）（2023·山东青岛·二模）已知，则下述正确的是（???????）

A．圆C的半径 B．点在圆C的内部

C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交

例4．（多选题）（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（???????）

A．当时，直线与圆相离

B．若直线是圆的一条对称轴，则

C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为

D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为

例5．（多选题）（2023·江苏·高二单元测试）设有一组圆，下列命题正确的是（???????）

A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上

B．存在圆经过点（3，0）

C．存在定直线始终与圆相切

D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则

例6．（多选题）（2023·河北沧州·二模）已知直线，圆，则下列结论正确的有（???????）

A．若，则直线恒过定点

B．若，则圆可能过点

C．若，则圆关于直线对称

D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2

例7．（多选题）（2023·河北·高三阶段练习）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（???????）

A．四边形面积的最小值为4

B．当直线的方程为时，最小

C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则

D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为

例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则（???????）

A．若过点的直线被圆截得的弦长为，则该直线方程为

B．圆上的点到直线的最大距离为

C．在圆上存在点，使得到点的距离为

D．圆上的任一点到两个定点、的距离之比为

例9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）（多选）已知圆，直线．则以下几个命题正确的有（???????）

A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为

C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为

例10．（多选题）（2023·辽宁·一模）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是（???????）

A．圆的方程为：

B．弦AE的长度的最大值为

C．四边形ABEF面积的最大值为

D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点

例11．（2023·全国·高二专题练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__．

例12．（2023·山东烟台·三模）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，