新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39圆锥曲线中的定点、定值问题(原卷版+解析).docxVIP

专题39圆锥曲线中的定点、定值问题

【方法技巧与总结】

1、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：

（1）变量----选择适当的量为变量．

（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．

（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．

2、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．

④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．

3、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．

②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．

③参数无关找定点：找到和没有关系的点．

【题型归纳目录】

题型一：面积定值

题型二：向量数量积定值

题型三：斜率和定值

题型四：斜率积定值

题型五：斜率比定值

题型六：线段定值

题型七：直线过定点

题型八：动点在定直线上

题型九：圆过定点

题型十：角度定值

【典例例题】

题型一：面积定值

例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：面积为定值，并求出该定值．

例2．已知双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．

（1）求双曲线的方程；

（2）直线与轴正半轴相交于一点，与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．

例3．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．

变式1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、且椭圆上的点到、两点的距离之和为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，△的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．

变式4．已知椭圆的离心率为，且过点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，为椭圆上的点，且满足，求证：四边形的面积为定值．

变式5．已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．

变式6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2），是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．

题型二：向量数量积定值

例4．己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．

(1)求的方程；

(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．

例5．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．

例6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

题