新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题34圆锥曲线存在性问题的探究(原卷版+解析).docxVIP

专题34圆锥曲线存在性问题的探究

【方法技巧与总结】

解决存在性问题的技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．

（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．

【题型归纳目录】

题型一：存在点使向量数量积为定值

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

题型三：存在点使两角度相等

题型四：存在点使等式恒成立

题型五：存在点使线段关系式为定值

【典例例题】

题型一：存在点使向量数量积为定值

例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

例2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点在椭圆上，且满足△的周长为6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

例3．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式1．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

变式2．已知，，点满足，记点的轨迹为，

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．

①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；

②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．

变式3．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

例4．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且△的周长是6，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点，，试问：直线与直线的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

例5．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

例6．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点到直线的距离为2．

（1）求椭圆的方程．

（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式4．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线的斜率与直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式5．设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

题型三：存在点使两角度相等

例7．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

例8．在平面直角坐标系内，椭圆，离心率为，右焦点到右准线的距离为2，直线过右焦点且与椭圆交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与轴垂直，为椭圆上的动点，求的取值范围；

（3）若动直线与轴不重合，在轴上是否存在定点，使得始终平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

例9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点满足：，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与交于，，，不同的两点，且，问在轴上是否存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形．若存在，求定点的坐标；若不存在，请