新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题31圆锥曲线的垂直弦问题(原卷版+解析).docxVIP

专题31圆锥曲线的垂直弦问题

【方法技巧与总结】

1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．

7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．

8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，

9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

【题型归纳目录】

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题

【典例例题】

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

例1．（2023·全国·高三专题练习）设分别是圆的左?右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为

(1)求椭圆C的离心率.

(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A?B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.

例2．（2023·河南·安阳一中高三阶段练习（文））设分别是椭圆的左?右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

例3．（2023·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆的离心率为，在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于、两点（不同于点），且，为垂足，求三角形面积的最大值．

例4．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，的内切圆的半径为，且的面积为1．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆的右顶点B作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点D和点E，若直线DE与x轴的交点为T，O为坐标原点，的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．

例5．（2023·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）已知长度为3的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，连接MN，试判断直线MN是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由.

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.

例7．（2023·广东广州·高三开学考试）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM?AN分别交双曲线于M?N两点.设线段AM?AN的中点分别为B?C，直线OB?OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

例8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．

(1)求C的方程；

(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

例9．（2023·陕西师大附中高三开学考试（理））已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例10．（2023·全国·高三专题练习（文