新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题10对数与对数函数(原卷版+解析).docxVIP

专题10对数与对数函数

【考点预测】

1.对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

(3)对数的性质和运算法则：

①；；其中且；

②(其中且，)；

③对数换底公式：；

④；

⑤；

⑥，；

⑦和；

⑧；

2.对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．

对数函数的图象

图象

性质

定义域：

值域：

过定点，即时，

在上增函数

在上是减函数

当时，，当时，

当时，，当时，

【方法技巧与总结】

1.对数函数常用技巧

在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)

【题型归纳目录】

题型一：对数运算及对数方程、对数不等式

题型二：对数函数的图像

题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））

题型四：对数函数中的恒成立问题

题型五：对数函数的综合问题

【典例例题】

题型一：对数运算及对数方程、对数不等式

例1．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）已知，求实数x的值；

（3）若，，用a，b，表示．

例2．（2023·全国·高三专题练习）（1）求的值.

（2）已知，，试用，表示

例3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：；

（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．

例4．（2023·全国·模拟预测）若，，则（???????）

A．a＋b＝100 B．b－a＝e

C． D．

例5．（2023·全国·模拟预测）已知实数，满足，，，，，，则（???????）

A．2 B．4 C．6 D．8

例6．（2023·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（???????）

A． B． C． D．

例7．（2023·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数则不等式的解集为______．

例8．（2023·辽宁·东北育才学校二模）若函数满足：（1），且，都有；（2），则___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）

例9．（2023·全国·高三专题练习）设函数（且）的图像经过点.

（1）解关于x的方程；

（2）不等式的解集是，试求实数a的值.

【方法技巧与总结】

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.

题型二：对数函数的图像

例10．（2023·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（???????）

A． B． C． D．

例11．（2023·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

（多选题）例12．（2023·福建·莆田二中模拟预测）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（???????）

A．， B．在上是奇函数

C．在上是单调递增函数 D．当时，

例13．（2023·全国·高三专题练习）已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.

【方法技巧与总结】

研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））

例14．（2023·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（?????）

A． B． C． D．

例15．（2023·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

例16．（2023·浙江·模拟预测）己知实数，且，则（???????）

A． B． C． D．

例17．（2023·全国·高三专题练习（理））函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（???????）

A．0 B．1

C．2 D．a

例18．（2023·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【方法技巧与总结】

研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型四：对数函数中的恒成立问题

例19．（2023·北京·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（???????）

A． B． C． D．