新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39双曲线及其性质(原卷版+解析).docxVIP

专题39双曲线及其性质

【考点预测】

知识点一：双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．

（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．

（3）时，点的轨迹不存在．

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．

知识点二：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

标准方程

图形

A2

A2

焦点坐标

，

，

对称性

关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标

，

，

范围

实轴、虚轴

实轴长为，虚轴长为

离心率

渐近线方程

令，

焦点到渐近线的距离为

令，

焦点到渐近线的距离为

点和双曲线

的位置关系

共焦点的双曲线方程

共渐近线的双曲线方程

切线方程

为切点

为切点

切线方程

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．

切点弦所在直线方程

为双曲线外一点

为双曲线外一点

点为双曲线与两渐近线之间的点

弦长公式

设直线与双曲线两交点为，，．

则弦长，

，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．

通径

通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为

焦点三角形

双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，

设，，，则，

，

焦点三角形中一般要用到的关系是

等轴双曲线

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．

【方法技巧与总结】

（1）双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．

（2）点与双曲线的位置关系

对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．

点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．

（3）双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;

性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）

（5）双曲线的切线

点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为

【题型归纳目录】

题型一：双曲线的定义与标准方程

题型二：双曲线方程的充要条件

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用双曲线定义去转换

方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式

方向3：利用，其中为焦距长，

方向4：坐标法

方向5：找几何关系，利用余弦定理

方向6：找几何关系，利用正弦定理

方向7：利用基本不等式

方向8：利用渐近线的斜率求离心率

方向9：利用双曲线第三定义

方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围

题型七：双曲线的简单几何性质问题

题型八：利用第一定义求解轨迹

题型九：双曲线的渐近线

题型十：共焦点的椭圆与双曲线

【典例例题】

题型一：双曲线的定义与标准方程

例1．（2023·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（????）

A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)

C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)

【方法技巧与总结】

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程.

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.

例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________．

例4．（2023·全国·高三专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．

例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左?右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

例6．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（????）

A． B．2 C． D．不确定

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，左?右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（?