新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题09指数与指数函数(原卷版+解析).docxVIP

专题09指数与指数函数

【考点预测】

1.指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2.指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【方法技巧与总结】

1.指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

(3)指数函数与的图象关于轴对称．

【题型归纳目录】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

题型二：指数函数的图像及性质

题型三：指数函数中的恒成立问题

题型四：指数函数的综合问题

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

例1．（2023·四川凉山·三模（文））计算：______．

例2．（2023·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.

例3．（2023·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲?乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（???????）

A．或 B．或

C．或 D．或

例4．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（???????）

A． B． C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）化简：

（1）

（2）(a0，b0).

（3）.

【方法技巧与总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

例6．（2023·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（???????）

A． B． C． D．

例7．（2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

例8．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数，下列关于函数的说法错误的是（???????）

A．函数的图象关于原点对称

B．函数的值域为

C．不等式的解集是

D．是增函数

例9．（2023·河南·三模（文））已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（???????）

A． B．

C． D．

例10．（2023·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.

例11．（2023·北京·高三专题练习）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.

例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)若函数在区间上的值域为，求的值．

【方法技巧与总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

例13．（2023·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

例14．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．

(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

例15．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数为实常数.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.

例16．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数．

（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；

（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．

例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，

（1）当时，求的值域；

（2）若对，成立，求实数的取值范围；

（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．

【方法技巧与总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数