沪教版八年级下无理方程教案.doc

精成教育学科教师辅导讲义

学员姓名：年级：八年级

辅导科目：数学学科教师：沈余良

课题

代数方程—无理方程概念及其运算.

授课时间：2015.3.14.

备课时间：

教学目标

1.了解无理方程的概念.

2.知道无理方程、有理方程、代数方程三者的关系.

3.掌握无理方程的解题步骤和解题方法.

重点、难点

无理方程的解题方法.〔用换元法解题〕

解无理方程时可能产生增根，因此必须验根.

考点及考试要求

解简单的无理方程并知道增根.

教学内容

教学过程：?一、知识回忆：?1、无理方程的定义。?

2、有理方程是〔〕?和〔???????〕?的统称。

?3、解无理方程的根本思想是什么？其解法有哪几种？

?4、解无理方程需注意什么？?二引入新课：?判断以下方程是否有实数解.

〔1〕＋2＝0〔2〕＋＝0

〔3〕＝〔4〕＝O

〔5〕+＝2〔6〕＋＝4

小结：上述各题都可以利用算术平方根的非负性质和二次根式的被开方数必须大于或等于零。

例题讲解：

解方程+＝2

分析：方程的左边含有两个二次根式，需先移项，再平方

解：略。〔让学生做〕

解方程

分析：此方程既是无理方程又具有分式方程的特征，分析其方程的特点，它的分母互为有理化因式，因而可先通分到达分母有理化的目的，使方程简化再求解；另外再分析方程中两个含未知数的项，它们恰好互为倒数，因而也可用换元法来解。

解法一：

∴

∴3＝2〔x－1〕

两边平方：9x＝4〔x－1〕2

∴4x2－17x＋4＝0

∴x1＝,x2＝4

经检验：x1＝是原方程的增根

x2＝4是原方程的根。

解法二：设y=那么原方程变为：y--=0

整理得：3y-8y-3=0解得：y=,y=3

当y=时，=整理得=-∴此方程无解。

当y=3时，=3，整理得=2，∴x=4,

经检验：x=4是原方程的解。

解方程6x+9x-4-15=0

分析：观察此方程的特点，根号内外所含未知数的对应项系数成比例，可用换元法较为简单。

解:原方程变形为：3(x2＋3x－5)－4－15＝0

令＝x那么原方程化为:3y－4y－15＝0

解得：y1＝－,y2＝3

由y1＝-得=-，∵ 算术平方根不能为负，

∴此方程无解。

由y＝3得，＝3

两边平方整理得：2x2＋3x－14＝0

∴x＝－，x2＝2

经检验：x＝－，x2＝2都是方程的根。

由于换元法是解无理方程中的一种非常重要的思想方法，它必须根据方程不同的特点采用不同的换元方法。

课堂练习：

x+3x-=1〔2〕=-

〔3〕-=

四、归纳总结

解无理方程的方法有两种：两边同时方和换元法。

无论用什么方法解无理方程都必须验根。

我们解无理方程的根本思想是通过采用“转化”的思想，将无理方程转化为有理方程，即：无理方程有理方程。由于在这个“有理化”的过程中，扩大了原方程未知数的取值范围，有理方程的根可能不适合原方程，因此解无理方程与解分式方程一样必须验根，将不适合原方程的增根舍去。

无理方程的常用解法有：

〔注：下面所用大写字母表示含未知数的整式或分式，小写字母表示常数〕

１、或型：根式性质法。此法适用于不解方程判断方程根的情况。

例１不解方程，判断以下方程是否有根：

⑴；⑵；

⑶；⑷。

分析：⑴、⑵小题均可视为型的无理方程，其中b均为负数，根据二次根式的非负性，这两个方程都无实数根；⑶小题中x应同时满足：x+2≥0且4-x≥0，即-2≤x≤4，方程可能有解〔用平方法，解为x=2〕；⑷小题中x应同时满足：x-2≥0且1-x≥0，不等式组无解，故原方程也无解。

２、或型：平方法。此法通过“平方”将方程中的根号化去。

例２解方程：⑴；

⑵。

略解：方程⑴可用一次平方法解得x=3；

方程⑵用两次平方法化为x2-24x+80=0，解得x1=4，x2=20，检验可知：x=4是增根，舍去，原方程的根为x=20。

说明：对于方程⑵这种类型的无理方程，一般要先移项，使得左边只有一个根式，这样求解起来较简捷。

３、或型：换元法。通过换元，原方程可化为较为简单的一元二次方程求解。

例３解方程：⑴；

⑵。

破题：根据方程⑴的特点，可设y=，那么原方程可化为3y2+2y-5=0；

根据方程⑵的特点，可设y=，那么原方程可化为。

４、〔Ⅰ〕或〔Ⅱ〕等特殊型：特殊法。对于〔Ⅰ〕有A=0；对于〔Ⅱ〕有A=0或B=0。

例４y=+2，求x2