2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(农)试题--.doc

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2021年全国硕士研究生入学统一考试数农试题

一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)曲线在点〔〕处的法线方程为〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】(D).

【分析】此题考查导数的几何应用——求法线方程.

【解析】，故，所以所求法线方程为

，即.应选〔D〕

(2)曲线〔〕

(A)有水平渐近线和铅直渐近线及

(B)有水平渐近线及和铅直渐近线

(C)仅有水平渐近线及，无铅直渐近线

(D)无水平渐近线，仅有铅直渐近线

【答案】(B).

【分析】此题考查曲线的渐近线.

【解析】因为，

所以及为曲线的水平渐近线.

又，，故为曲线的铅直渐近线，但不是.

综上知，曲线有水平渐近线及和铅直渐近线.应选〔B〕.

(3)函数在闭区间上的最小值和最大值依次为〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】(C).

【解析】这题看的是函数在区间上的单调性，所以直接求导即可。，那么可知当时，故函数在上单调递增；当时，故函数在上单调递减，那么可知函数在处取得最大值。最小值为，由于

故可知在处取最小值

(4)设函数连续，记，那么

〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】(B)

【解析】

令得：

令得：

所以原式=

(5)设矩阵，假设线性方程组无解，那么〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

(6)设为5阶非零矩阵，且()

(A)假设那么

(B)假设那么

(C)假设那么

(D)假设那么

(7)设为两个随机事件，且,那么〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】(B)

【解析】A.

B.

C.

D.

所以，答案选B.

(8)设表示自由度为n的t分布的分位数，那么〔〕

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】(D)

【解析】设∽，，那么，

，故.

所以答案选D.

二、填空题：9答题纸指定位置上.

(9)_________

【解析】原式

(10)函数的第二类间断点为________

【解析】

(11)假设连续函数满足那么________

【解析】对两边求导，得，令，得.

(12)设为连续函数，交换积分次序，=____

【解析】有题意知，积分区域为，交换积分次序，得

.

(13)设3阶矩阵，，假设，那么____

【解析】,

,所以。

(14)某运发动每次投篮投中的概率为，他连续投篮直到投中两次为止，假设各次投篮的结果相对独立，那么他投篮总次数为4的概率为____.

【答案】

【解析】所求概率

.

答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(此题总分值10分)

设函数求.

【解析】时；时；

不存在.

(16)(此题总分值10分)

设函数，由方程确定，求.

【解析】当时,

对等式两同时对求偏导数,可得

,那么可以解得:

再次对等式两边对求偏导数,可得:

,解得

(17)(此题总分值10分)

设是由曲线和直线所围成的平面图形，求的面积及绕轴旋转所得旋转体的体积。

【解析】联立，得

或

所以

(18)(此题总分值10分)

计算二重积分，其中区域由直线，及轴围成。

【解析】

(19)(此题总分值10分)

设函数是微分方程满足条件的解，求的极值。

【解析】的通解为

，

由初始条件求出.从而，，.

令，解得，又，由知是极小值点，

所以的极小值为.

(20)(此题总分值11分)

向量组，，，，其中是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

【解析】

(I)当时，

的秩为2，是一个极大无关组

(II)当时，的秩为，且是一个极大无关组，

(21)(此题总分值11分)

矩阵相似于，

(I)求、的值,

(II)求可逆矩阵，使？

【解析】由和相似，知，，故，

解得

由和的特征值相同知的特征值为

对应的线性无关的特征向量为：解得到

对应的线性无关的特征向量为：

解，得到