第三章布朗运动1.pptx

第二章Brown运动

本章主要内容

Brown运动的定义及性质

Brown运动有关的随机过程Brown运动的仿真

Brown运动的背景介绍

●1827年英国植物学家发现布朗运动

●1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述.

●此后该课题得到了巨大的发展，被一些列的物理学家完善

●相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难

●1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果

●1918年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式

●布朗运动解释为随机游动的极限

●W(t)表示质点在时刻t的位置，则W(t)也表示质点直到t所作的位移，因此在时间(s,t)内，它所做的位移是W(f)-W(s),由于在时间(s,t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故W(t)-W(s)是大量小位移的和，由中心极限定理它服从正态分布

●介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上

位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观察的时刻无关

●由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的

二，布朗运动的定义

(Brownmotion)BM

称实S.P.{W(t),t≥0}是Wiener过程，如果

(1)W(0)=x∈R

(2)VO≤st,W(t)-W(s)~N(0,(t-s))

(3)Vn≥2,VO=t₀t₁…t,…,W(t,)-W(t₇),…

W(t₂)-W(t),W(t)-W(t₀)是相互独立的随机变量

(4)随机过程W具有连续的样本轨道

W(O)=0的BM也称为标准Brown运动

Wiener过程

称实S.P.{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程，

如果

(1)W(O)=0

(2){W(t),t≥0}是平稳的独立增量过程.

(3)VO≤st,W(t)-W(s)~N(0,σ²(t-s))

布朗运动定义的来源

一、直线上的随机游动

设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t时间，等概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表

示时刻t粒子的位置，则

X(t)=△x(X₁+…+X/n)

其中

如果步长为△x的第i步向右

如果步长为△x的第i步向左

且X;相互独立。

所以E[X(t)]=0,Var(X(t))=(△x)²[t/△t]

当△t→0时，应有△x→0

令Ar=σ√Af则当△t→0时，有

E[X(t)]=0,Var(X(t))→σ²t

注：若Ax=(Af)“当x1/2时War(X(t))→0,

当α1/2时，Var(X(t))→o.

一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限.

EX;=0,Var;)=1

因为

三Brown运动的数字特征

定理

设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.则

(1)Vt0,W(t)~N(0,σ²t)

(2)1my(t)=0,Dw(t)=σ²t,t≥0,

R(s,t)=Cw(s,t)=G²min(s,t),s,t,≥0证明(1)由定义，显然成立.

(2)由(1)易知有

mw(t)=0,Dw(t)=σ²t,t≥0

对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则

Rw(s,t)=E[W(s)W(t)]

=E[(W(s)-W(0))(W(t)-W(s)+W(s))]

独立性=E[(W(s)-W(O))(W(t)-W(s))]+E[W(s)]²

=0+E[W(s)]²

=D[W(s)]+(E[W(s)])²

=σ²s

=σ²min(s,t)

Cw(s,t)=Rw(s,t)-my(s)mw(t)=σ²min(s,t)

例1.SBM是正态过程.

证明设{W(t),t≥0}是参数为1的Wiener过程.则对任意的n≥1,以及任意的

O≤t₁t₂…t,

{W(t₁),W(t₂),..,W(tr)}是n维随机变量

由Wiener过程的定义知

W(t),W(t₂)-W(t₁),…,W(t,)-W(t,-)相互独立

W(t)-W(-)服从N(O₂(t₄-tx-))分布

所以(W(t),W(t₂)-W(t),…,W(t,)-W(t,-))

是n维正态随机变量.

所以(W(t),W(t₂),…,W(t,)是n维正态变量.

所以{W(t),t≥0}是正态过程.

(W(t),W(t₂),…,W(t,