1.2.1直角三角形全等的判定.docx

直角三角形全等的判定

（2008?台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，

则BE=CF；EF=|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

【考点】直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．

【解答】解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，

∴BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．

②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．

证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．

∵∠BCA=180°﹣∠α，

∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，

∴∠CBE=∠ACF，

又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF，

又∵EF=CF﹣CE，

∴EF=|BE﹣AF|．

（2）猜想：EF=BE+AF．

证明过程：

∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，

∴∠BCE=∠CAF，

又∵BC=CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．

∴BE=CF，EC=FA，

∴EF=EC+CF=BE+AF．

【点评】本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．

（2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．

（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）

（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

【考点】直角三角形全等的判定．

【专题】证明题；压轴题；开放型．

【分析】（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．

（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．

【解答】证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，

∴∠B=∠D=90°，

∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，

∵在△ADC中，cos30°=，

在△ABC中，cos30°=，

∴AB=AC，AD=．

∴AB+AD=．

（2）由（1）知，AE+AF=AC，

∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CE=CF．

而∠ABC与∠D互补，

∠ABC与∠CBE也互补，

∴∠D=∠CBE．

∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，

∴Rt△CDF≌Rt△CBE．

∴DF=BE．

∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．

（2015春?深圳校级期中）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）

A．HL B．AAS C．SSS D．ASA

【考点】直角三角形全等的判定；角平分线的性质．

【分析】利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．

【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，

又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．

故选A．

【点评】此题考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出