1.2.4直角三角形斜边上中线的性质.docx

正三角形斜边上中线的性质

（2011?黑龙江）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP；②当∠ABC=60°时，MN∥BC；③BN=2AN；④AN：AB=AM：AC，一定正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

【专题】压轴题．

【分析】①由BN、CM为高，P为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP；

②由BN、CM为高与∠A是公共角，易证得△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，则易得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC；

③根据锐角三角函数的定义，可得③错误；

④由②△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AN：AB=AM：AC．

【解答】解：①∵BN、CM为高，

∴∠BMC=∠BNC=90°，

∵P为BC的中点，

∴NP=MP，故①正确；

②∵BN、CM为高，

∴∠BNA=∠CMA=90°，

∵∠A=∠A，

∴△BNA∽△CMA，

∵∠BAC=60°，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴△AMN也是等边三角形，

∴∠AMN=∠ABC=60°，

∴MN∥BC，故②正确；

③∵∠ABC=60°，

tan60°==2，与矛盾，故③错误；

④∵△AMN∽△ABC，

∴AN：AB=AM：AC，故④正确．

∴一定正确的有3个．

故选C．

【点评】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

（2011?思明区校级二模）如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是（）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据平行线的性质可得出∠B，再由直角撒娇型斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=BD=CD，有等边对等角可得出∠B=∠BCD，∠ACD=∠CAD，再由外角的性质得出∠ADC=2∠B，即可求出答案．

【解答】解：∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B，

∵∠BCF=35°，

∴∠B=35°，

∵DC是斜边AB上的中线，

∴AD=BD=CD，

∴∠B=∠BCD，∠ACD=∠CAD，

∵∠ADC=∠B+∠BCD，

∴∠ADC=70°，

∴∠ACD=（180°﹣70°）=55°，

故选C．

【点评】本题考查了直角三角形的性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．

（2006?泰安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC﹣AD的关系是（）

A．2MN＜BC﹣AD B．2MN＞BC﹣AD C．2MN=BC﹣AD D．MN=2（BC﹣AD）

【考点】直角三角形斜边上的中线；梯形．

【专题】压轴题；探究型．

【分析】由题意，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，得MN与BC﹣AD的关系是：MN=（BC﹣AD），先延长BA、CD，两延长线相交于点P，连接PM、PN，首先根据已知条件和直角三角形的性质证明P、M、N三点共线，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半就可以证明结论．

【解答】解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，

连接PM、PN，

∵∠B+∠C=90°

∴∠P=90°

∵AD∥BC

∴∠PAD=∠B，

而M，N分别是AD，BC的中点

∴AM=MP，BN=PN

∴∠B=∠BPN，∠PAD=∠APM

∴∠APM=∠BPN

∴P、M、N三点共线

∵M是AD的中点，∠P=90°

∴PM=AD

同理：PN=BC

∵PN﹣PM=（BC﹣AD）

∴MN=（BC﹣AD）

∴2MN=BC﹣AD．

故选C．

【点评】本题考查直角三角形的中线定义，关键要懂得：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，解题时还要注意选择适宜的辅助线．

（2014?包头模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为4﹣π．

【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；扇形面积的计算．

【专题】压轴题．

【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方