第5章有限元法基础——二维单元.ppt

第五章有限元法基础

——二维单元

本章介绍二维单元及其形函数5.1矩形单元使用矩形单元描述二维温度分布对于矩形单元，可用下面函数近似：典型的矩形单元确定四个系数，，和，节点的值分别为:（局部坐标系）

一般的形式为二维矩形单元坐标系的关系5.2二次四边形单元一般地，与每个节点有关的形函数可以表示为两个函数和的乘积。比如节点m，它的自然坐标为。我们选择下面推导中间节点的形函数应用边界条件5.3线性三角形单元三角形单元的自然（面积）坐标自然坐标定义为

5.5等参单元

若我们使用一组参数（一组形函数）定义，，等未知变量，并使用同样的参数（同样的形函数）表示几何关系，则我们在使用等参公式。用这种方式表示的单元称为等参单元。*矩形单元二次四边形单元三角形单元第四章中分析了一维问题。我们研究了悬臂梁的热传递问题，使用了一维线性函数来近似温度沿单元的分布，但在实际问题中，若温度在x方向和y方向均会产生变化，这就需要用二维函数去近似求解。一维解是由线段近似的，二维解是由平面片近似的。(5.1)位移函数（温度函数）方程中有四个未知量，矩形单元由四个节点i,j，m，n定义。函数在单元的边缘呈线性变化，在单元的内部呈非线性变化，为双线性单元。(x＝0，y＝0)(x＝l，y＝0)(x＝l，y＝w)(x＝0，y＝w)求解得到： 将，，和代入到式（5.1）中，并对参数进行分组，得到由形函数表示的典型单元的温度分布：其中，形函数为形函数的性质：（1）形函数在相应节点上值为1，在其它节点上值为0；（2）形函数之和为1。自然坐标是局部坐标的无量纲形式XY二维矩形单元：整体坐标与局部坐标的关系：局部坐标与自然坐标的关系：令和，那么由自然坐标和表示的形函数为：八节点的二次四边形单元是一种高阶的四边形单元。这种类型的单元比较适合于对带有边界的问题进行建模。典型的八节点的平面单元如下图所示。与线性单元相比，对于同样数目的单元，二次四边形单元要提供更精确的结果。八节点的二次四边形单元自然坐标和和局部坐标的关系由自然坐标和表示的八节点的二次四边形单元的形式为创建八个方程以求得这些系数，，，…，对于给定的节点，选取第一个函数，使得它在与给定的节点无关的其它节点上的值为零。而选择第二个函数时，要使得它与的乘积在给定的节点上为1，在其它相邻的节点上为0。除m，l，o三节点外，在其它节点处，上式都为零。下面利用m，l，o三节点确定选择未知系数，，可以通过m，l，o三节点的值确定得到节点m的形函数为同样，可以确定其它三个节点的形函数：作为例子，我们计算节点o的形函数我们选择，，时，由于给出的项的乘积为三次项，所以第二个函数是常数。确定同样可以得到中间节点，和的形函数使用双线性矩形单元存在缺点,当边界弯曲时他们就不适用。三角形单元更自如一些，如下图所示。三角形单元描述二维温度分布为了确定三个未知系数，我们用三个节点来定义一个单元，如下图所示。图4.6三角形单元节点的值分别为三角形区域内独立的变量（如温度）的变化：将节点的值代入方程中，产生三个方程求解，和，得到这里A是三角形单元的面积将，和代入原方程中，得写成矩阵形式：形函数为三角形单元的形函数的性质：（1）函数在相应节点上值为1，在另外一个相邻节点上值为0；（2）形函数之和为1。