1.2.1勾股定理的逆定理.docx

勾股定理的逆定理

（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】勾股定理的逆定理；一次函数图象上点的坐标特征；圆周角定理．

【专题】压轴题．

【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．

【解答】解：由题意知，直线y=﹣x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为

（0，2），如图：

过点A作垂线与直线的交点W（﹣4，4），

过点B作垂线与直线的交点S（2，1），

过AB中点E（﹣1，0），作垂线与直线的交点为F（﹣1，2.5），

则EF=2.5＜3，

所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点

∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．

故选D．

【点评】本题利用了直角三角形的性质和直线与圆的位置求解．

（2016?贵阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于．

【考点】勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．

【分析】根据△ABE∽△ECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2，可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出．

【解答】解：设正方形的边长为x，BE的长为a

∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°

∴∠BAE=∠CEF

∵∠B=∠C

∴△ABE∽△ECF

∴=，即=

解得x=4a①

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2

∴x2+a2=42②

将①代入②，可得：a=

∴正方形ABCD的面积为：x2=16a2=．

【点评】本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．注意后面可以直接这样x2+a2=42②，∴x2+（）2=42，x2+x2=42，x2=16，x2=．无需算出算出x．

（2015?湖州模拟）已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是②③．（只填序号）

①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．

【解答】解：根据直角三角形的面积的不同算法，

有ab=ch，

解得h=．

①将h=代入a2b2+h4=（a2+b2+1）h2，得

a2b2+（）4=（a2+b2+1）（）2，得

a2b2+（）4=（c2+1）（）2，得

a2b2+（）4=a2b2+，得

即（）4=，

a2b2=c2，不一定成立，故本选项错误；

②将h=代入b4+c2h2=b2c2，得

b4+c2（）2=b2c2，

b4+b2a2=b2c2，

整理得b4+b2a2﹣b2c2=0，

b2（b2+a2﹣c2）=0，

∵b2+a2﹣c2=0，

∴b2（b2+a2﹣c2）=0成立，故本选项正确；

③①∵（+）2=a+b+2，（）2=c，

又∵a+b＞c，

∴（+）2＞（）2，

∴+＞，故本选项正确；

④直角三角形的面积为ab，随ab的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．

故答案为②③．

【点评】此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细．

（2013?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=135度．

【考点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．

【专题】压轴题．

【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，即可得出答案．

【解答】解：连接EE′

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′

∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，

∵△ABE与△CE′B全等

∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C

∴∠BEE′=∠BE′E=45°，

∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，

∴EC2=E′C2+EE′2，

∴△EE′C是直角三角形，

∴∠EE′C=90°，

∴∠AEB=135°．

故答案为：135．

【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．

（2013?东莞模拟）阅读以下解题过